Première S2 Exercices sur le chapitre 21 : E4. 2007 2008
E4 Savoir prouver une orthogonalité.
N ° 6
ABCDEFGH est un cube.
Recopions et complétons les phrases suivantes : Les droites ( EH ) et ( FG ) sont parallèles.
Les droites ( GC ) et ( FB ) sont parallèles.
Les droites ( FG ) et ( FB ) sont perpendiculaires.
Les droites ( EH ) et ( GC ) sont orthogonales.
Les droites ( EH ) et ( AD ) sont parallèles.
Les droites ( AD ) et ( CG ) sont orthogonales.
Les droites ( EA ) et ( BC ) sont orthogonales.
Les droites ( EA ) et ( DC ) sont orthogonales.
La droite ( EA ) est orthogonale au plan ( ABC ).
Les droites ( EA ) et ( AC ) sont perpendiculaires.
N ° 7
SABCD est une pyramide de hauteur [ SA ] à base carrée.
1 ) a ) ( AB ) est une droite perpendiculaire à la droite ( BC ) en B ou bien ( DC ) est perpendiculaire à ( BC ) en C.
b ) ( SA ) est une droite orthogonale et non coplanaire à la droite ( BC ).
En effet, ( SA ) ⊥ ( AD ) et ( SA ) ⊥ ( AB ) donc ( SA ) est orthogonale au plan ( ADC ). Or ( BC ) est une droite du plan ( ADC ).
Donc ( SA ) et ( BC ) sont orthogonales.
Elles ne sont pas coplanaires car S n'appartient pas au plan ( ADC ).
c ) ( SA ) est une droite orthogonale et non coplanaire à la droite ( DB ).
En effet, ( SA ) ⊥ ( AD ) et ( SA ) ⊥ ( AB ) donc ( SA ) est orthogonale au plan ( ADC ). Or ( BD ) est une droite du plan ( ADC ).
Donc ( SA ) et ( BD ) sont orthogonales.
Elles ne sont pas coplanaires car S n'appartient pas au plan ( ADC ).
d ) ( AD ) est une droite orthogonale et non coplanaire à la droite ( SB ).
En effet, ( SA ) ⊥ ( AD ) et ( AD ) ⊥ ( AB ) donc ( AD ) est orthogonale au plan ( ASB ). Or ( BS ) est une droite du plan ( ASB ).
Donc ( DA ) et ( BS ) sont orthogonales.
Elles ne sont pas coplanaires car D n'appartient pas au plan ( ASB ).
2 ) Dans chacun des cas suivants, nommons une droite orthogonale au plan donné : a ) ( AD ) est une droite orthogonale au plan ( SAB ).
b ) ( SA ) est une droite orthogonale au plan ( ADC ).
c ) ( AB ) est une droite orthogonale au plan ( SAD ). En effet, ( AB ) ⊥ ( SA ) et ( AB ) ⊥ ( AD ).
d ) ( BD ) est une droite orthogonale au plan ( SAC ).
En effet, ( SA ) est orthogonale à ( BD ).
Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
Donc ( BD ) est orthogonale à ( AC ).
( BD ) est orthogonale à deux droites sécantes ( SA ) et ( AC ) du plan ( SAC ).
Donc ( BD ) est orthogonale au plan ( SAC ).
