Première S2 Exercices sur le chapitre 18 : E4. 2007 2008
E4 Savoir démontrer les limites des suites arithmétiques et géométriques.
Théorème : ( suite arithmétique )
Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0 alors lim ( un ) = + ∞ Si r < 0 alors lim ( un ) = - ∞ Démonstration
Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r.
Je suppose que son premier terme est u0. Alors pour tout n ∈ on a un = u0 + n r.
Si r > 0 alors lim ( n r ) = + ∞ donc lim ( un ) = + ∞ Si r < 0 alors lim ( n r ) = - ∞ donc lim ( un ) = - ∞ . Théorème : ( suite géométrique )
Soit ( un ) la suite géométrique de raison q définie par un = qn. Si q > 1 alors lim ( un ) = + ∞ .
Si q = 1 alors la suite ( un ) est constante.
Si 0 < q < 1 alors lim ( un ) = 0 Si -1 < q < 0 alors lim ( un ) = 0
Si q ≤ - 1 alors la suite ( un ) est divergente.
Démonstration
Soit ( un ) la suite géométrique de raison q définie par un = qn.
Si q > 1 alors je pose q = 1 + x avec x un nombre réel strictement positif.
Or nous avons déjà démontré l'inégalité de Bernoulli : pour x ≥ 0 et pour n ≥ 1, on a ( 1 + x )n ≥ 1 + n x.
Ainsi qn ≥ 1 + n x ⇔ un ≥ 1 + n x Comme x > 0 alors lim ( 1 + n x ) = + ∞
Ainsi à partir d'un certain rang, tout intervalle de la forme ] A ; + ∞ [ avec A ∈ , contint tous les termes de la suite ( un ).
Donc lim ( un ) = + ∞ .
Si q = 1 alors un = 1n = 1. Donc la suite ( un ) est constante.
Si 0 < q < 1. Je pose q ' = 1
q . Alors q ' > 1 . Or un = qn = ( 1
q' )n = n ' q1 . Comme q ' > 1 alors lim q 'n = + ∞ donc lim n
'
q1 = 0. D'où lim ( un ) = 0.
Si -1 < q < 0 alors je pose q ' = - 1
q . Alors q ' > 1 . Or un = qn = ( - 1
q' )n = ( - 1 ) n × n ' q1 . Comme q ' > 1 alors lim q 'n = + ∞ donc lim n
'
q1 = 0. D'où lim ( un ) = 0.
Si q ≤ - 1 alors la suite ( un ) est alternativement positive puis négative. Donc la suite ( un ) est divergente.
