Première S2 Exercices sur le chapitre 21 : E3. 2007 2008
E3 Savoir prouver un parallélisme.
N ° 4
ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu du segment [ FG ]. J est le milieu du segment [ BC ].
Démontrons que la droite ( AJ ) est parallèle au plan ( EFG ).
ABCDEFGH est un cube.
Donc les plans ( ABCD ) et ( EFGH ) sont parallèles.
Or la droite ( AJ ) est incluse dans la plan ( ABC ).
D'après le théorème 3
Si deux plans sont parallèles, alors toutes droite incluse dans l'un des plans parallèles est parallèle à l'autre.
Donc la droite ( AJ ) est parallèles au plan ( EFG ).
Démontrons que le plan ( AEI ) est parallèle à la droite ( CG ).
ABCDEFGH est un cube.
Donc les droites ( AE ) et ( CG ) sont parallèles.
Or le plan ( AEI ) contient la droite ( AE ).
D'après le théorème 3
Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui contient l'une des droites est parallèle à l'autre droite.
Donc le plan ( AEI ) est parallèle à la droite ( CG ).
N ° 5
ABCDEFGH est un cube. Et P est un plan.
Soit ( IJ ) la droite d'intersection du plan P et du plan ( AEH ).
Soit ( KL ) la droite d'intersection du plan P et du plan ( BFG ).
Démontrons que les droite ( IJ ) et ( KL ) sont parallèles.
ABCDEFGH est un cube.
Donc les plans ( AEHD ) et ( BFGC ) sont parallèles.
Or d'après le théorème 4 Si deux plans sont parallèles,
alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Or le plan P coupe le plan ( AEH ) en ( IJ ) et le plan ( BFG ) en ( KL ).
Donc les droites ( IJ ) et ( KL ) sont parallèles.
