DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L’ESPACE.

1 I- Rappels sur le plan :

II- Droites et plans de l’espace :

1) Positions et intersection de droites et de plans : a. Positions relatives de deux droites :

Deux droites de l’espace peuvent être :

coplanaires (dans un même plan)

non coplanaires

sécantes parallèles

(AC) et (DB) sont sécantes en I.

(EH) et (FG) sont strictement parallèles.

(AI) et (AC) sont confondues.

(EH) et (GC) sont non coplanaires.

Leur intersection est

un point vide égale à (AI) (et à (AC)) vide

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L’ESPACE.

Pour représenter un objet de l’espace par une figure plane, on adopte un mode de représentation appelé

« perspective cavalière » qui est défini par les règles suivantes :

• Le plan perpendiculaire aux rayons visuels est appelé plan frontal (plan de face) ;

• Les figures situées dans des plans parallèles au plan frontal, sont représentées en vraies grandeurs ;

• Deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles ;

• Sur deux droites parallèles, deux segments de même longueur sont représentés par deux segments de même longueur, en particulier, les milieux sont conservés ;

• Les lignes cachées sont représentées en pointillés.

Définition : la perspective cavalière

• 3 points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 non alignés définissent un plan. On note ce plan (𝐴𝐵𝐶).

Remarque :

Un plan peut également être déterminé par une droite et un point extérieur à cette droite.

• Soit (𝑃) un plan et (𝑑) une droite appartenant à ce plan.

Alors tout point 𝑀 de la droite (𝑑) appartient au plan (𝑃).

Propriétés

2 b. Positions relatives d’une droite et d’un plan :

Une droite et un plan de l’espace peuvent être :

sécants parallèles

La droite (EC) et le plan (ABC) sont sécants en C.

La droite (EG) et le plan (ABC) sont strictement parallèles.

La droite (AC) est contenue dans le plan (ABC)

c. Positions relatives de deux plans : Deux plans de l’espace peuvent être :

sécants parallèles

Les plans (EBC) et (FBC) sont sécants suivant la droite (BC).

Les plans (ABC) et (EFG) sont strictement parallèles.

Les plans (ABC) et (ABD) sont confondus.

Remarques :

• Dans l’espace, deux droites qui n’ont aucun point commun ne sont pas nécessairement parallèles.

• Il n’est pas possible que deux plans aient un seul point commun.

Exercices :

1. On considère un cube ABCDEFGH. Citer :

• Deux droites sécantes ;

• Deux droites strictement parallèles ;

• Deux droites non coplanaires ;

• Deux plans sécants ;

• Deux plans strictement parallèles ;

• Une droite sécante à un plan ;

• Une droite strictement parallèle à un plan ;

• Une droite contenue dans un plan.

3

2. Dans le cube de la figure précédente, indiquer (sans justifier) les positions relatives

• Des plans (EFA) et (GCD) ;

• Des droites (EF) et (HC) ;

• De la droite (DG) et du plan (ABE) ;

• Des plans (CDG) et (ABG) ;

• Du plan (EHB) et de la droite (DF) ;

• Des droites (AG) et (BH).

2) Parallélisme dans l’espace :

a. Parallélisme entre droites :

Exemple :

On considère le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 ci-contre. 𝐼 est un point du segment [𝐸𝐹] et 𝐽 est un point du segment [𝐹𝐺].

Puisque les plans (𝐴𝐵𝐶) et (𝐸𝐹𝐺) sont parallèles, le plan (𝐴𝐼𝐽) coupe le plan (𝐴𝐵𝐶) en une droite parallèle à (𝐼𝐽) passant par 𝐴. En rejoignant les points 𝐴, 𝐼, 𝐽 et le point d’intersection entre la droite précédente et le segment [𝐵𝐶], on obtient la section du cube par le plan (𝐴𝐼𝐽).

•

Deux droites sont parallèles lorsqu’elles sont coplanaires et sans point commun, ou lorsqu’elles sont confondues ;

•

Deux plans sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun, ou lorsqu’ils sont confondus ;

•

Une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun, ou lorsque la droite appartient au plan.

Définitions

•

Si deux plans (𝑃) et (𝑃′) sont parallèles alors tout plan (𝑄) qui coupe (𝑃) coupe aussi (𝑃′) et les droites d’intersection (𝑑) et (𝑑′) sont parallèles.

•

Théorème du « toit »

Soit deux plans (𝑃) et (𝑃′) sécants suivant une droite (∆), (𝑑) une droite parallèle aux plans (𝑃) et (𝑃′). Alors la droite (𝑑) est parallèle à la droite (∆).

•

(∆) Théorèmes

+ démonstration ROC

4 b. Parallélisme entre droite et plan :

c. Parallélisme entre plans :

3) Orthogonalité :

3) Orthogonalité

•

Si une droite (𝑑

) est parallèle à une droite (𝑑), alors (𝑑

) est parallèle à tout plan (𝑃) contenant la droite (𝑑).

•

Si deux plans sont parallèles, alors toute droite contenue dans un des plans est parallèle à l’autre.

•

Théorèmes

•

Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

•

Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une, coupe l’autre.

•

Si deux plans sont parallèles, alors toute droite qui coupe l’un, coupe l’autre.

•

Théorèmes

•

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui forment un angle droit en leur point d’intersection ;

•

Deux droites (𝑑) et (𝑑′) sont orthogonales si elles sont perpendiculaires, ou s’il existe une droite parallèle à (𝑑) et une droite parallèle à (𝑑′) qui sont perpendiculaires.

Définitions

5 a. Droites orthogonales :

Exemple :

On considère le parallélépipède rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 ci-contre.

• Les droites (∆) et (𝑑) sont orthogonales car la droite (𝑑) est parallèle à la droite (𝐴𝐷) elle-même perpendiculaire à (∆).

• De même, les droites (∆) et (𝑑′) sont orthogonales.

b. Droite orthogonale à un plan :

Remarque :

Certaines propriétés vraies dans le plan ne le sont plus dans l’espace. Par exemple, les droites (𝑑₁) et (𝑑₂) sont toutes les deux orthogonales à la droite (∆) et pourtant elles ne sont pas parallèles entre elles.

Remarque :

C’est pour cela que les portes tournent !

Exemple :

Dans le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, la droite (𝐴𝐸) est orthogonale aux droites sécantes (𝐴𝐵) et (𝐴𝐷) du plan (𝐴𝐵𝐷). On en déduit que la droite (𝐴𝐸) est orthogonale au plan (𝐴𝐵𝐷).

Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

Théorème

Une droite est orthogonale à un plan si cette droite est orthogonale à toute droite contenue dans ce plan

Définition

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Théorème

( 𝑑₁)

6 Exercice :

On considère un cube ABCDEFGH.

• Justifier que les droites (HE) et (EB) sont perpendiculaires.

• Les droites (GE) et (EB) sont-elles perpendiculaires ?

• Justifier que la droite (DB) est perpendiculaire au plan (EAG).

• Soient I et J les milieux de [AB] et [AE].

- Justifier que (IJ) est parallèle au plan (BCH).

- Justifier que (IJ) et (BF) sont sécantes.

Construire K leur point d’intersection.

- Justifier que (IJ) est sécante au plan (DBF) en K.

III) Vecteurs de l’espace :

4) Notion de vecteur de l’espace :

5) Vecteurs colinéaires :

Les propriétés vues pour les vecteurs dans le plan (addition, multiplication par un réel, relation de Chasles, …) restent valables pour les vecteurs de l’espace.

Propriétés (admises)

Deux vecteurs non nuls 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Définition

•

Deux vecteurs non nuls 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires s’il existe un réel 𝑘 tel que 𝑣 = 𝑘𝑢 ⃗ .

•

Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

Définition

•

Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

•

Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.

•

Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.

•

Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.

Théorèmes

7 Remarque :

• Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction.

• Si 𝑣 = 𝑘𝑢⃗ avec 𝑘 > 0 alors 𝑢⃗ et 𝑣 ont le même sens ;

• Si 𝑣 = 𝑘𝑢⃗ avec 𝑘 < 0 alors 𝑢⃗ et 𝑣 sont de sens contraire.

• Lorsque deux vecteurs non nuls sont colinéaires, on peut écrire l’un en fonction de l’autre (𝑣 = 𝑘𝑢⃗ ). On dit que les deux vecteurs sont dépendants. Lorsque deux vecteurs ne sont pas colinéaires, on dit qu’ils sont indépendants ou libres.

Exercice :

Soient A, B, C et D quatre points de l’espace.

1. Soient I et J définis par 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ = ¹

5 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ = ¹

5 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Démontrer que 𝐼𝐽⃗⃗⃗ et 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

2. Soient K et L définis par 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ avec 𝑘 ∈ ℝ.

Démontrer que 𝐾𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

3. A quel théorème de géométrie classique ces résultats peuvent-ils être associés ? 6) Vecteurs coplanaires :

Exemple :

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre :

• Les vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ sont coplanaires car 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑣 = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑤⃗⃗ = 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ et A, B, E et F sont dans le plan (ABE).

• Les vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑡 ne sont pas coplanaires car 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

, 𝑣 = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑡 = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ et l’unique plan contenant A, B et E est (ABE) qui ne contient pas D.

• 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires puisque 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ et A, B et E sont dans le plan (ABE), cependant les droites (AB) et (CG) ne sont pas coplanaires.

Remarque :

Deux vecteurs sont toujours coplanaires, contrairement à deux droites.

7) Opérations sur les vecteurs :

Deux vecteurs étant toujours coplanaires, on définit comme dans le plan la somme de deux vecteurs, le produit d’un vecteur par un réel, les notions de vecteurs colinéaires et de vecteur directeur d’une droite.

On admet que les propriétés de calcul dans le plan sont conservées :

Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si en traçant leurs représentants à partir d’un même point A, leurs extrémités sont coplanaires avec A.

Définition

8 II- Caractérisation vectorielle d’une droite de l’espace :

III- Caractérisation vectorielle d’un plan de l’espace :

+ démonstration.

+ démonstration.

Pour tous réels 𝑘 et 𝑘′

et pour tous vecteurs 𝑢 ⃗ et 𝑣 :

•

𝑘(𝑘′𝑢 ⃗ ) = 𝑘𝑘′𝑢 ⃗

•

(𝑘 + 𝑘′)𝑢 ⃗ = 𝑘𝑢 ⃗ + 𝑘′𝑢 ⃗

•

𝑘(𝑢 ⃗ + 𝑣 ) = 𝑘𝑢 ⃗ + 𝑘𝑣

Relation de Chasles : Règle du parallélogramme :

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

ABDC parallélogramme

•

Soit A un point et soit 𝑢 ⃗ un vecteur de l’espace.

L’ensemble des points M tels que : 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝑢⃗ avec 𝑡 ∈ ℝ est une droite passant par A et de vecteur directeur 𝑢 ⃗ .

•

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Propriétés (admises)

Soit A un point et soient 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs non colinéaires de l’espace.

L’ensemble des points M tels que :

𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡𝑢⃗ + 𝑡′𝑣 avec 𝑡 ∈ ℝ et 𝑡′ ∈ ℝ est un plan.

On dit que c’est le plan passant par A et de couple de vecteurs directeurs (𝑢 ⃗ , 𝑣 ).

C’est le plan contenant les droites (𝐴 ; 𝑢 ⃗ ) et (𝐴 ; 𝑣 ).

Propriété

Soit 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs non colinéaires.

Les vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels 𝑡 et 𝑡′ tels que : 𝑤 ⃗⃗ = 𝑡𝑢 ⃗ + 𝑡′𝑣

Propriété

9 Remarque :

Une droite 𝑑 de vecteur directeur 𝑤⃗⃗ est parallèle à un plan 𝑃 de vecteurs directeurs 𝑢⃗ et 𝑣 si et seulement si 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ sont coplanaires.

Remarques :

• Pour trois vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ coplanaires, si 𝛼𝑢⃗ + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤⃗⃗ = 0⃗ avec 𝛼 ≠ 0, alors on peut exprimer le vecteur 𝑢⃗ en fonction de 𝑣 et de 𝑤⃗⃗ .

Comme au moins l’un des coefficients 𝛼, 𝛽, 𝛾 est non nul, on peut effectivement exprimer l’un des vecteurs en fonction des deux autres.

• Lorsque trois vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ sont coplanaires, on dit alors que les trois vecteurs sont dépendants (s’ils ne sont pas coplanaires, on dit qu’ils sont indépendants ou libres).

Exemples :

Les vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et le vecteur 𝑤⃗⃗

défini par 𝑤⃗⃗ = 2𝑢⃗ + 3𝑣 sont coplanaires.

Si des points sont dans un même plan, 3 vecteurs obtenus à partir de ces points sont nécessairement coplanaires.

Attention !!!

Des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ peuvent être coplanaires sans que les points A, B, C, D, E et F soient dans un même plan.

Exercice :

On considère un tétraèdre ABCD.

1. Justifier que les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ne sont pas coplanaires.

2. Soit I le milieu de [AD] ; J le milieu de [BC] ; K défini par 𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ et L défini par 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ avec 𝑘 ∈ ℝ.

• Exprimer le vecteur 𝐽𝐿⃗⃗⃗ en fonction des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ .

• Exprimer le vecteur 𝐼𝐾⃗⃗⃗⃗ en fonction des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . Existe-t-il une valeur de 𝑘 pour laquelle 𝐼𝐾⃗⃗⃗⃗ et 𝐽𝐿⃗⃗⃗ sont colinéaires ?

On dit que trois vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ sont coplanaires s’il existe trois réels 𝛼, 𝛽 et 𝛾 non tous nuls tels que 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤 ⃗⃗ = 0 ⃗ .

Définition

10 IV- Repères de l’espace :

1) Repères de l’espace :

2) Colinéarité et alignement dans un repère de l’espace :

3) Milieu, distance :

Si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 ⃗ sont trois vecteurs non coplanaires et O un point fixe, alors on munit l’espace du repère (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ⃗⃗ ; 𝑘 ⃗ ).

Il existe un unique triplet ( 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) tel que, pour tout point M de l’espace, on a

𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧 𝑘⃗ . 𝑥 est l’abscisse du point M, 𝑦 est l’ordonnée et 𝑧 est la cote.

Définition

On dit que le repère est orthonormé si 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 ⃗ sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de même norme ‖𝑖 ‖ = ‖𝑗 ‖ = ‖𝑘⃗ ‖ = 1.

Définition

•

Deux vecteurs non nuls 𝑢 ⃗ ( 𝑥 𝑦 𝑧

) et 𝑣 ( 𝑥′

𝑦′

𝑧′

) sont colinéaires si et seulement si, il existe un

réel 𝑘 tel que 𝑢 ⃗ = 𝑘𝑣 , c’est-à-dire tel que {

𝑥 = 𝑘𝑥′

𝑦 = 𝑘𝑦′

𝑧 = 𝑘𝑧′

•

Si 𝐴(𝑥

; 𝑦

; 𝑧

) et 𝐵(𝑥

; 𝑦

; 𝑧

), alors le vecteur 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées : (

𝑥

− 𝑥

𝑦

− 𝑦

𝑧

− 𝑧

)

•

Trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 de l’espace sont alignés si et seulement si il existe un réel 𝑘 tel que 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Propriétés

∗ 𝐼 ( 𝑥

+ 𝑥

2 ; 𝑦

+ 𝑦

2 ; 𝑧

+ 𝑧

2 ) est le milieu du segment [𝐴𝐵].

Dans un repère orthonormé :

∗ la 𝐧𝐨𝐫𝐦𝐞 du vecteur 𝑢 ⃗ est ‖𝑢 ⃗ ‖ = √𝑥² + 𝑦² + 𝑧²;

*la distance 𝑨𝑩 = √(𝑥

− 𝑥

)

+ (𝑦

− 𝑦

)

+ (𝑧

− 𝑧

)

Attention !!

Il faut être dans un repère orthonormé pour calculer la norme ou la distance de cette façon.

11 Exercices :

1- L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ⃗⃗ ; 𝑘⃗ ).

On considère les points 𝐴(−3 ; 5 ; 2) ; 𝐵(−2 ; 1 ; 1) ; 𝐶(4 ; −2 ; −2) et 𝐷(3 ; 2 ; −1) . Justifier que ABCD est un parallélogramme et déterminer les coordonnées de son centre I.

2- L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ⃗⃗ ; 𝑘⃗ ).

On considère les points 𝐴(−1 ; 3 ; 1) ; 𝐵(3 ; 1 ; −1) ; 𝐶(1 ; −3 ; −1) et 𝐷(−5 ; 0 ; 2) .

• Justifier que ABC est un triangle rectangle.

• Montrer que les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

• Montrer que A, B, C et D sont coplanaires. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 3- L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ⃗⃗ ; 𝑘⃗ ).

On considère les points 𝐴(0 ; 2 ; 1) ; 𝐵(−2 ; 3 ; 1) et 𝐶(1 ; 2 ; −1) Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Déterminer les coordonnées du milieu I de [BC] et du centre de gravité du triangle ABC.

V- Représentations paramétriques :

1) Représentations paramétriques d’une droite :

+ démonstration.

Remarque :

On obtient plusieurs représentations paramétriques pour la même droite : cela dépend des coordonnées du point A et du vecteur directeur choisi.

𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) appartient à la droite Δ passant par 𝐴(𝑥

; 𝑦

; 𝑧

) et de vecteur directeur non

nul 𝑢 ⃗ ( 𝑎 𝑏 𝑐

) si et seulement si, il existe un réel 𝑡 tel que :

{

𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥

𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦

𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧

{

𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥

𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦

𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧

, 𝑡 ∈ ℝ est appelé représentation paramétrique de la droite Δ .

12 2) Représentations paramétriques d’un plan :

+ démonstration.

Remarque :

On obtient plusieurs représentations paramétriques pour le même plan : cela dépend des coordonnées du point A et des vecteurs directeurs choisis.

Exercices :

1- L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ⃗⃗ ; 𝑘⃗ ).

On considère les points 𝐴(2 ; −1 ; 5) ; 𝐵(1 ; −3 ; 2) et 𝐶(2 ; 3 ; 9) et le vecteur 𝑢⃗ ( 1 0 1

)

Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) et une représentation paramétrique de la droite passant par C et de vecteur directeur 𝑢⃗ .

Déterminer si ces deux droites sont sécantes et donner éventuellement les coordonnées de leur point d’intersection.

2- L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ⃗⃗ ; 𝑘⃗ ).

Justifier que l’ensemble des points 𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) tels que : {

𝑥 = 2 + 3𝑡 𝑦 = −1 + 2𝑡

𝑧 = 2 − 4𝑡 avec 𝑡 ∈ ℝ, est une droite d que l’on caractérisera.

VI-

Produit scalaire dans l’espace : 1)

𝑀(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) appartient au plan (P) passant par 𝐴(𝑥

; 𝑦

; 𝑧

) et de vecteurs directeurs

non colinéaires 𝑢 ⃗ ( 𝑎 𝑏 𝑐

) et 𝑣 ( 𝑎′

𝑏′

𝑐′

) si et seulement si, il existe un couple de réels 𝑡 et 𝑡′ tels

que :

{

𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′𝑡′ + 𝑥

𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′𝑡′ + 𝑦

𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′𝑡′ + 𝑧

{

𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑎′𝑡′ + 𝑥

𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑏′𝑡′ + 𝑦

𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑐′𝑡′ + 𝑧

, 𝑡 et 𝑡′ ∈ ℝ est appelé représentation paramétrique du plan (P) .

Un repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽 ; 𝐾) de l’espace est orthonormé lorsque les droites (𝑂𝐼) , (𝑂𝐽) et (𝑂𝐾) sont deux à deux perpendiculaires et qu’on a les égalités de distances :

𝑶𝑰 = 𝑶𝑱 = 𝑶𝑲 = 𝟏.

Définition

13

Remarque :

Lorsque le repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽 ; 𝐾) de l’espace est orthonormé, chaque axe est perpendiculaire à toute droite passant par le point O et contenue dans le plan défini par les deux autres axes.

Ainsi la droite (𝑂𝐼) est perpendiculaire à toute droite du plan (𝑂𝐽𝐾) passant par O.

Exemple :

Un cube dont l’arête mesure une unité de longueur fournit un modèle de repère orthonormé de l’espace.

On note le repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽 ; 𝐾) ou (𝑂 ; 𝑂𝐼 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐽 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑂𝑀 = √1² + 1² + 1² = √3

+ démonstration.

2) Définition du produit scalaire dans l’espace :

Remarques :

•

Le produit scalaire ne dépend que des vecteurs 𝒖 ⃗⃗ et 𝒗 ⃗⃗ , et non du choix de leurs représentants ou du plan P, car ce produit scalaire peut s’exprimer au moyen des normes de 𝑢 ⃗ et de 𝑣 seulement :

𝒖

⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ = 𝟏

𝟐 [‖𝒖 ⃗⃗ ‖² + ‖𝒗 ⃗⃗ ‖² − ‖𝒖 ⃗⃗ − 𝒗 ⃗⃗ ‖²]

•

Pour calculer un produit scalaire, on choisit deux représentants des vecteurs situés dans un même plan. Outre la formule des normes, on dispose alors des autres méthodes vues en classe de première pour effectuer ce calcul :

𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩 × 𝑨𝑪 × 𝐜𝐨𝐬(𝑩𝑨𝑪 ̂ )

𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑯 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝐶 sur la droite (𝐴𝐵).

Soit (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽 ; 𝐾) un repère orthonormé de l’espace et 𝑀 un point de coordonnées (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) dans ce repère.

La longueur 𝑂𝑀 et la norme du vecteur 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vérifient : 𝑂𝑀 = ‖𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √𝑥² + 𝑦² + 𝑧²

Propriété

Soient 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs de l’espace et 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points tels que 𝑢 ⃗ = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 appartiennent à un plan

𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 dans l’espace est par définition égal au produit scalaire des vecteurs 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ calculé dans le plan P.

Définition

14

+ démonstration.

Exemple :

Soit le tétraèdre régulier ABCD de côté 1.

On a 𝐼𝐽 ⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ et comme ABC est équilatéral, le point C se projette orthogonalement sur [𝐴𝐵] en son milieu K :

𝐼𝐽 ⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗

= 1 4

Exercice :

1. Soient 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs. Démontrer l’égalité : (𝑢 ⃗ + 𝑣 )

+ (𝑢 ⃗ − 𝑣 )

= 2𝑢 ⃗

+ 2𝑣

2. En déduire que dans un parallélogramme la somme des carrés des quatre côtés est égale à la somme des carrés des deux diagonales.

3. Soit ABC un triangle et A’ le milieu de [BC].

Démontrer que 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² = 2𝐴𝐴

+

2

𝐵𝐶² (théorème de la médiane).

VII- Propriétés du produit scalaire :

1) Expression dans un repère orthonormé :

Exemple :

Dans un repère orthonormé de l’espace, si : 𝑢 ⃗ (

−1 2 3

) et 𝑣 ( 3 2

−1

) alors on obtient :

𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = −3 + 4 − 3 = −2.

2) Propriétés algébriques :

Le carré scalaire d’un vecteur 𝑢 ⃗ de l’espace est le réel noté 𝑢 ⃗

vérifiant 𝑢 ⃗

= 𝑢 ⃗ ∙ 𝑢 ⃗ . On a, comme dans le plan : 𝑢 ⃗

= ‖𝑢 ⃗ ‖

et par suite ‖𝑢 ⃗ ‖ = √𝑢 ⃗

Définition et propriété

Dans un repère orthonormé de l’espace, soit 𝑢 ⃗ ( 𝑥 𝑦 𝑧

) et 𝑣 ( 𝑥′

𝑦′

𝑧′

) deux vecteurs, alors :

𝒖

⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ = 𝒙𝒙′ + 𝒚𝒚′ + 𝒛𝒛′.

Propriété

+ démonstration.

Pour tous vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ du plan, pour tout réel 𝑘 on a les relations suivantes :

∗ 𝒖 ⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ = 𝒗 ⃗⃗ ∙ 𝒖 ⃗⃗ ∗ 𝒖 ⃗⃗ ∙ (𝒗 ⃗⃗ + 𝒘 ⃗⃗⃗ ) = 𝒖 ⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ + 𝒖 ⃗⃗ ∙ 𝒘 ⃗⃗⃗

∗ 𝒖 ⃗⃗ ∙ (𝒌𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝒌𝒖 ⃗⃗ ) ∙ 𝒗 ⃗⃗ = 𝒌(𝒖 ⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ ) ∗ (𝒖 ⃗⃗ − 𝒗 ⃗⃗ ) ∙ (𝒖 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗⃗ ) = 𝒖 ⃗⃗ ² − 𝒗 ⃗⃗ ²

∗ (𝒖 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗⃗ )² = 𝒖 ⃗⃗ ² + 𝟐𝒖 ⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗⃗ ² ∗ (𝒖 ⃗⃗ − 𝒗 ⃗⃗ )² = 𝒖 ⃗⃗ ² − 𝟐𝒖 ⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ + 𝒗 ⃗⃗ ²

15

+ démonstration.

3) Vecteurs orthogonaux :

+ démonstration.

Exercices :

1. Soit un triangle ABC rectangle en A. On désigne par A’ le milieu de [BC], par H le pied de la hauteur issue de A et par I et J les projetés orthogonaux de H sur (AB) et (AC).

•

Démontrer que 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐼𝐽 ⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐻 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

•

Démontrer que les droites (AA’) et (IJ) sont perpendiculaires.

2. On considère un tétraèdre régulier ABCD. On pose 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 = 𝑎.

Soit G le centre de gravité du triangle BCD.

•

Calculer en fonction de 𝑎 les produits scalaires 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗

•

Justifier que (AD) est orthogonale à (BC)

•

Montrer que 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ =

3

𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ +

3

𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ +

𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗

•

Déduire des calculs précédents le produit scalaire 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗

•

Calculer 𝐴𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Que peut-on en conclure ?

3. ABCDEFGH est un cube. L’espace est rapporté au repère (𝐴 ; 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ ).

Soit I le point de coordonnées (1 − 𝑘 ; 0 ; 1) avec 𝑘 ∈ ℝ.

•

Justifier que 𝐼 ∈ (𝐸𝐹).

•

Déterminer les valeurs de 𝑘 pour lesquelles le triangle AIC est rectangle.

•

Faire un dessin.

Soient 𝑢 ⃗ = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ deux vecteurs de l’espace

Le produit scalaire 𝒖 ⃗⃗ ∙ 𝒗 ⃗⃗ est nul, si et seulement si : 𝒖 ⃗⃗ = 𝟎 ⃗⃗ ou 𝒗 ⃗⃗ = 𝟎 ⃗⃗ ou 𝑩𝑨𝑪 ̂ =

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.

Deux droites D et ∆ sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.

Définition

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VIII- Orthogonalité dans l’espace :

1) Orthogonalité entre une droite et un plan :

+ démonstration.

Conséquences :

Pour montrer qu’une droite D est orthogonale à un plan P, il suffit d’établir qu’un vecteur directeur de la droite D est orthogonal à un couple de vecteurs directeurs du plan P.

2) Vecteur normal à un plan – équation cartésienne :

+ démonstration.

+ démonstration.

L’ensemble (E) des points 𝑀 de l’espace dont les coordonnées (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) vérifient l’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont trois réels non tous nuls est un plan de

vecteur normal 𝑛⃗ ( 𝑎 𝑏 𝑐

)

Si une droite

sécantes d’un plan P, alors D est orthogonale à toute droite du plan P.

On dit que la droite D est orthogonale au plan P.

Propriété et définition

Soit

𝑛⃗ d’une droite orthogonale au plan P.

Définition

Soit P un plan de vecteur normal 𝑛⃗ et 𝐴 un point de P.

Le plan P est l’ensemble des points 𝑀 de l’espace vérifiant : 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛⃗ = 0, et dans tout repère orthonormé de l’espace, le plan P a une équation cartésienne de la forme : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les coordonnées de 𝑛⃗ dans ce repère.

Propriété

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Exemple :

Dans un repère orthonormé on donne le point 𝐴(2 ; −1 ; 0) et le vecteur 𝑛⃗ (

−1 2 3

).

Le plan P passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝑛⃗ a pour équation :

−1(𝑥 − 2) + 2(𝑦 + 1) + 3𝑧 = 0 → −𝑥 + 2 + 2𝑦 + 2 + 3𝑧 = 0 soit −𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4 = 0

Remarque :

L’équation cartésienne d’un plan n’est pas unique.

Par exemple le plan d’équation 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0 a aussi pour équation 2𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 2 = 0

3) Exercices :

1. On considère un cube ABCDEFGH.

•

Justifier que 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur normal au plan (𝐴𝐵𝐶𝐷).

•

En déduire la valeur de 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗

•

Montrer que le vecteur 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ est normal au plan (𝐻𝐷𝐵𝐹).

2. L’espace est rapporté au repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ).

On considère les points 𝐴(3 ; 1 ; 2) ; 𝐵(1 ; −1 ; 1) et 𝐶(5 ; 2 ; 3).

•

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ .

• Déterminer une équation cartésienne du plan (𝐴𝐵𝐶).

3. L’espace est rapporté au repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ).

Soient P et P ’ les plans d’équations respectives : 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0 et 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0.

Montrer que l’intersection de P et de P ’ est une droite dont on donnera une représentation paramétrique.

4. L’espace est rapporté au repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ; 𝑘 ⃗ ).

On considère la droite 𝛿 de représentation paramétrique {

𝑥 = 1 + 2𝜆 𝑦 = −4 − 𝜆 𝑧 = 1 + 3𝜆

avec 𝜆 ∈ ℝ ; le plan

d’équation 2𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 + 12 = 0 et le plan P ‘ d’équation 5𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 2 = 0.

•

Déterminer l’intersection de 𝛿 et de P.

•

Déterminer l’intersection de 𝛿 et de P ‘.

•

Déterminer l’intersection de P et de P ‘.

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