L 7
Droites et plans de l’espace - Vecteurs
T.S • •
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I Positions relatives de droites et de plans
I.1 Positions relatives de deux droites
Propriété : Deux droites d
1et d
2sont soit coplanaires (appartiennent à un même plan), soit non copla- naires.
Exemple 1 :
H
C E
D F
A
B
G
ABCDEF GH est un cube.
• Les droites (EG) et (F G) appartiennent au même plan . . . . sont . . . . .
• Les droites (AD) et (F G) appartiennent au même plan . . . . sont . . . . .
• Les droites (AD) et (GC ) sont . . . . .
Remarque 1 Si deux droites ne sont pas coplanaires, alors elles ne sont ni sécantes, ni parallèles.
I.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan Parallélisme d’une droite avec un plan
P
Propriété : Une droite d et un plan P sont soit sécants, soit parallèles.
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Exemple 2 :
b
I
H
C E
D F
A
B
G ABCDEF GH est un cube.
• La droite (GI ) et le plan (ABC) sont . . . . .
• La droite (EG) est . . . . dans le plan (EF G).
• La droite (EG) et le plan (ABC) sont . . . . .
I.3 Positions relatives de deux plans
Propriété : Deux plans P
1et P
2sont soit sécants, soit parallèles.
Exemple 3 : H
C E
D F
A
B
G
ABCDEF GH est un cube.
• Les plans (BCG) et (BCE) sont . . . . suivant . . . . .
• Les plans (ABC) et (EF G) sont . . . . .
II Parallèlisme dans l’espace
P P
′Q
d
1d
2Exemple 4 :
b
b b
J I
M H
C E
D F
A
B
G Construire la section d’un cube.
• Construire sur la figure ci-contre l’intersection du plan (IM J) avec le cube ABCDEF GH.
d
′∆
P
P
′d
Exemple 5 :
b
b b
E C
B
A G
F
Application du théorème du toit.
ABCD est une pyramide. Le segment [F G] est parallèle à l’arête [BC]. E est un point du plan (ABC).
• Construire en justifiant, l’intersection du plan (EF G) avec la pyramide et l’intersection des plans (ABC) et (EF G).
III Orthogonalité dans l’espace
III.1 Droites orthogonales
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Exemple 6 : H
C E
D F
A
B
G
ABCDEF GH est un cube.
• Les droites (EH ) et (EF ) sont . . . . .
• Les droites (BC) et (EF ) sont . . . . . En effet . . . .
Remarque 2 :
• Deux droites perpendiculaires sont . . . . III.2 Droite orthogonale à un plan
Définition : Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.
Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan.
Exemple 7 : H
C E
D F
A
B
G ABCDEF GH est un cube.
• (AE) est . . . . aux droites (AD) et . . . . .
(AD) et (AB) sont sécantes et définissent le plan (ABC) donc . . . . .
• De plus . . . . .
EXERCICE 1 :
• d
1⊥ d
2, d
1⊥ d
3et d
2⊥ d
3;
• Le point H est l’orthocentre du triangle ABC ; Montrer que (OH) est orthogonale au plan (ABC).
orthocentre
IV Vecteurs de l’espace
GÉNÉRALISATION
Comme point de départ, on généralise les propriétés vues dans le plan concernant les vecteurs :
• − − → AB = −−→
CD ⇔ ABDC parallélogramme ;
• Règles de calcul : pour tous réels k, k
′et tous vecteurs ~ u, ~ v,
k(k
′~ u) = kk
′~ u (k + k
′)~ u = k~ u + k
′~ u k(~ u + ~ v) = k~ u + k~v ;
• ~ u et ~ v colinéaires ⇔ il existe k ∈ R tel que ~ v = k~ u ;
• Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires ;
• Relation de Chasles et régle du parallélogramme (addition vectorielle) ;
• M appartient à la droite d passant par A et de vecteur directeur ~ u si et seulement si il existe un réel t tel que −−→
AM = t~ u (dessin)
• . . .
IV.1 Vecteurs coplanaires
Définition : Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si en trçat leurs représentants à partir d’un même point A, leurs extrémités sont coplanaires avec A.
Exemple 8 : H
C E
D F
A
B
G
ABCDEF GH est un cube. Citer trois vecteurs coplanaires ;
Deux vecteurs sont toujours coplanaires, contrairement à deux droites.
Illustration : . . . .
Citer trois vecteurs non coplanaires ;
IV.2 Caractérisation vectorielle d’un plan
Un plan est défini par trois points non alignés. Or si l’on considère 3 points non alignés, A, B et C, les vecteurs
− − → AB, −→
AC ne sont pas colinéaires.
Un plaÆn est don également défiÆni par la donÆnée d'uÆn poiÆnt et de deuÆx veteur s non oliÆnéaires
a p pelés :
vecteurs directeurs du plan Ansi, par exemple, − − →
AB et −→
AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC), M ∈ (ABC ) ⇔ il existe des réels x et y tels que −−→
AM = x − − →
AB + y −→
AC [1]
Un point du plan et deux vecteurs directeurs non colinéaires, définissent un repère du plan de sorte que : [1] ⇔ M a pour coordonnées (x; y) dans le repère (A; − − →
AB; −→
AC ).
Soit ~ u et ~v deux vecteurs non colinéaires. Les vecteurs ~ u, ~ v et w ~ sont coplanaires si et seulement si il
existe des reéls x et y, tels que :
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IV.3 Repères de l’espace
IV.3.1 Décomposition d’un vecteur On retient :
• Dans le plan, on peut décomposer tout vecteur sur 2 vecteurs non colinéaires ;
• Dans l’espace, on peut décomposer tout vecteur sur 3 vecteurs non coplanaires.
Soit A, B, C et D quatre points non coplanaires de l’espace. Pour tout point M,
• il existe des réels x, y, z tels que :
−−→ AM = x − − →
AB + y −→
AC + z − − → AD ,
• Ce triplet est unique. (démontré en TD)
b b b b b
b
B A
D C
M
Compléter : −−→
AM = . . . − − →
AB + . . . −→
AC + . . . − − → AD
IV.3.2 Repérage de l’espace
Définition : Un repère de l’espace est formé d’un point (origine) et de trois vecteurs non coplanaires.
D’après ce qui précède, en posant A = O, − − →
AB = ~i, −→
AC = ~j et − − →
AD = ~k, on en déduit : COORDONNÉES D’UN POINT
Soit O, ~i, ~j, ~k un repère de l’espace :
Pour tout point M de l’espace, il existe un triplet (x; y; z) de réels tels que −−→
OM = x~i + y~j + z~k.
On note M (x; y; z) ; Les trois nombres x(abscisse), y(ordonnée) et z(cote) sont les coordonnées de M . Pour tout vecteur ~ u, il existe un point M tel que −−→
OM = ~ u (représentant), donc on peut définir de manière analogue les coordonnées d’un vecteur.
COORDONNÉES D’UN VECTEUR Soit O, ~i, ~j, ~k un repère de l’espace :
Pour tout vecteur ~ u, il existe un triplet (x; y; z) de réels tels que ~ u = x~i + y~j + z~k. On note ~ u
x y z
.
Toute uÆne série de propriétés à onÆnaître pour traÆvailler aÆve les oordonÆnées de veteur s.
PROPRIÉTÉS : Soit O, ~i, ~j, ~k un repère de l’espace :
• Si ~ u
x y z
et ~v
x
′y
′z
′
alors ~ u + ~ v
x + x
′y + y
′z + z
′
et k~ u
kx ky kz
, ∀k ∈ R .
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
• Si A(x
A; y
A; z
A) et (x
B; y
B; z
B) alors − − → AB
x
B− x
Ay
B− y
Az
B− z
A
et le milieu de [AB] a pour coordonnées x
A+ x
B2 ; y
A+ y
B2 ; z
A+ z
B2
IV.3.3 Représentation paramétrique d’une droite
0 ~j
~k
~i
b
A(x
0, y
0, z
0) Droite d Vecteur directeur − → u
−
→ u
α β γ
Représentation paramétrique d’une droite Le droite d passant par A(x
0, y
0, z
0) et admettant le vecteur − → u comme vecteur directeur a pour système d’équations paramétriques :
x = x
0+ tα
y = y
0+ tβ t ∈ R z = z
0+ tγ
A une valeur du paramètre t, correspond un unique point de coordonnées (x, y, z) de d et réciproquement.
Démonstration
Exemple 9
x = 4 − 5t
y = −2 + 2t t ∈ R z = 1 + 3t
est une représentation paramétrique d’une droite d.
1. Donner un point A et un vecteur directeur ~ u de d : . . . 2. Quel point B obtient-on pour t = −1 ?
3. Écrire − − →
AB en fonction de ~ u.
4. Le point C(−6; 2; 7) appartient-il à la droite d ?
IV.3.4 Représentation paramétrique d’un plan
0 ~j
~k
~i
b
A(x
0, y
0, z
0)
×
