Chapitre 10 Vecteurs, droites et plans de l’espace 225
© Hachette Livre 2020 – Guide pédagogique, mathématiques Terminale Spécialité, collection Barbazo
Vecteurs,
droites et plans de l’espace
10
1 1. Nombre de faces : 5 ; nombre d’arêtes : 9 ; nombre de sommets : 6.
2. Nombre de faces : 7 ; nombre d’arêtes : 15 ; nombre de sommets : 10.
3. Nombre de faces : 8 ; nombre d’arêtes : 18 ; nombre de sommets : 12.
2 1. Le triangle AEH est un triangle rectangle et isocèle en E.
Le triangle IDF est un triangle rectangle en D.
2. Les droites (DC) et (FG) sont parallèles à la droite (AB).
3. Les droites (DA) et (AE) sont sécantes à la droite (AB).
4. Les droites (FH) et (CG) ne sont ni sécantes ni parallèles à la droite (AB).
5. Les plans (ADC), (AEB), (DIH), (CIG) contiennent le point I.
3 1. Ce solide a 12 arêtes, 6 faces et 8 sommets.
2. C’est un prisme à base trapézoïdale (trapèze ABCD).
3. (AB) et (AD) sont deux droites sécantes, (AB) et (DC) sont parallèles.
4 1. Le volume du pavé est égal à V=6×2×8=96 cm3. 2. L’aire totale des faces est égale à :
2×(6×2+8×2+6×8))=152 cm.
3. Pour calculer la longueur BD, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABD :
On a BD2=AB2+AD2= 36 + 64 = 10 cm Donc BD=10 cm
4. Pour calculer le volume d’un prisme il faut multiplier l’aire de la base (ici ABI) par la hauteur (ici BC).
Ce qui donne V= 6×2 2 ×6.
5 1. a.SU +SA =SC b.AB – CB =AC c.UT – CB =0 d.SC+UA= 2SA
2. (US ; CA ), (UC ; 2SA ), et (CB ; 0), sont par exemple trois couples de vecteurs colinéaires.
6 1.
u A w
P U
T R
a. Montrons que RA= 3TP : On sait que UA= 3UP et que UT =UTu ruu
= 1 3URu ruu
UR donc que UR= 3UT Donc UA – UR= 3UP – 3UT= 3(UP – UT ) = 3(UP – TU ) = 3TP Donc RA = 3TP
b.TPu rTPu
= −1 3u rARuu
AR.
c. On peut donc dire que les vecteurs RA et TP sont coli- néaires et les droites (RA) et (TP) ainsi parallèles, ce qui implique que le quadrilatère TRAP est un trapèze.
2.EF EFu ruu 4,5
−9
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ or 4,5× −6( )= −9×3 donc les vecteurs sont colinéaires.
8 = 48cm²
