Vecteurs, droites et plans de l’espace

(1)

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Vecteurs, droites et plans de l’espace

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Lycée Louise Michel (Gisors)

(2)

Les savoir-faire

40. Représenter et utiliser une combinaison linéaire de vecteurs donnés pour résoudre un problème.

41. Étudier les positions relatives de droites et de plans.

42. Utiliser les coordonnées pour résoudre des problèmes (alignement, colinéarité, coplanarité,...).

(3)

Le problème de Nabolos

On considère un cube ABCDEFGH.

Un réverbère est représenté par le segment [P L] avec L le point représentant son ampoule et P le projeté orthogonal du point L sur le plan(ABC).

Reproduire cette figure et tracer l’ombre de ce cube.

A E

F

C G H

D P

L

B

(4)

Définition

SoientAetB deux points de l’espace.

On associe le vecteur−−→

AB à la translation qui transformeA enB.

Deux vecteurs −−→ AB et −−→

CD sont égaux, si et seulement si, ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati.

On peut alors noter −→u =−−→ AB =−−→

CD. Les vecteurs −−→ AB et

−−→CDsont des représentants du vecteur−→u.

Remarque :

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.

Exemple :

Dans le cubeABCDEF GHles vecteurs −−→

AH et −−→

BG sont égaux car ABGHest un rectangle.

A B

D C

E F

G H

(5)

Combinaisons linéaires de vecteurs

Définition

On considère trois vecteurs~u,~v etw~ non colinéaires.

On dit quew~ est une combinaison linéaire des vecteurs ~u et~v s’il existe des réels a et b tels que :w~ =a~u+b~v.

a~u b~v w~

~ u

~v

Remarques :

(6)

Combinaisons linéaires de vecteurs

Définition

a~u b~v w~

~ u

~v

Remarques :

• On dit aussi que les trois vecteurs sont coplanaires.

(7)

Combinaisons linéaires de vecteurs

Définition

a~u b~v w~

~ u

~v

Remarques :

• Dans le cas où~v=a~uon dit que les vecteurs sont colinéaires.

(8)

Combinaisons linéaires de vecteurs

Définition

a~u b~v w~

~ u

~v

Remarques :

(9)

Combinaisons linéaires de vecteurs

Définition

a~u b~v w~

~ u

~v

Remarques :

Exemple :

Dans le cube ABCDEF GH, une écriture du vecteur−−→

BHcomme combinaison linéaire des vecteurs−→

BA,−−→ BC et−−→

BF est :

−−→ BH=−→

BA+−−→ BC+−−→

BF

A B

C D

E F

G H

(10)

Exemples

Exemple :

A l’aide du cube représenter les vecteurs donnés par :

~a=−→

AB+−−→ CG+−−→

F H

~b= 2−→

AB+−−→ BD−

−→

F C

~c=1 2

−−→ AD+−−→

EF+−−→ BF−

−→ ACVidéo

A B

D C

E F

G H

Exemple :

Dans le parallélépipède, M est le centre du rectangleABCD.

Exprimer les vecteurs −−→ CE, −−→

M G et

−−→

M F comme combinaisons linéaires des vecteurs−−→

AM,−→

ABet−→ AE.Vidéo

A B

D C

E F

G H

M

(11)

Droites de l’espace

Définition

Une droite de l’espace est définie :

•soit par la donnée de deux points distincts ;

•soit par la donnée d’un point et d’un vecteur non nul.

b

B A

P ~u

(12)

Droites de l’espace

Définition

Une droite de l’espace est définie :

•soit par la donnée de deux points distincts ;

•soit par la donnée d’un point et d’un vecteur non nul.

Propriété : caractérisation d’une droite

La droite passant parAde vecteur directeur~uest l’ensemble des pointsM de l’espace tels que−−→

AM et~usoient colinéaires.

b

B A

P ~u

(13)

Plans de l’espace

Définition

Un plan de l’espace est défini :

•soit par trois points non alignésA,B etC;

•soit par un point et deux vecteurs non colinéaires(A;~u, ~v).

b b

b A

B C

P ~u

~ v

(14)

Plans de l’espace

Définition

Un plan de l’espace est défini :

•soit par trois points non alignésA,B etC;

•soit par un point et deux vecteurs non colinéaires(A;~u, ~v).

Propriété : caractérisation d’un plan

Le plan défini par le point Aet les vecteurs non colinéaires

~

uet~vest l’ensemble des pointsM de l’espace tels que−−→

AM soit une combinaison linéaire des vecteurs~uet~v.

b b

b A

B C

P ~u

~ v

(15)

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Propriétés

SoitPun plan etDune droite de l’espace. Trois cas peuvent se présenter :

P D

b

P D

I

P D

D est incluse dans P

Det P sont sécants : D∩P ={I}

D etP sont disjoints : D∩P =∅

(16)

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Propriétés

la droiteD est incluse dans le planP;

P D

b

P D

I

P D

(17)

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Propriétés

la droiteD est incluse dans le planP; la droiteD et le plan P sont sécants ;

P D

b

P D

I

P D

(18)

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Propriétés

la droiteD est incluse dans le planP; la droiteD et le plan P sont sécants ;

la droiteD et le plan P n’ont aucun pont commun.

P D

b

P D

I

P D

(19)

Positions relatives de deux droites

Deux droites sont coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans le même plan.

Propriétés

SoientD et∆deux droites de l’espace. Quatre cas peuvent se présenter :

(20)

Positions relatives de deux droites

Propriétés

les droitesD et∆ sont confondues ;

(21)

Positions relatives de deux droites

Propriétés

les droitesD et∆ sont strictement parallèles ;

(22)

Positions relatives de deux droites

Propriétés

les droitesD et∆ sont strictement parallèles ; les droitesD et∆ sont sécantes ;

(23)

Positions relatives de deux droites

Propriétés

les droitesD et∆ sont strictement parallèles ; les droitesD et∆ sont sécantes ;

les droitesD et∆ ne sont pas coplanaires.

(24)

Positions relatives de deux droites

Droites coplanaires

Droites parallèles Droites sécantes

P D

∆ P

D ∆ ^b

P

D ∆

I

D et∆sont confondues

D et ∆sont strictement

parallèles : D∩∆ =∅

D et∆sont sécantes : D∩∆ ={I}

Droites non coplanaires

P D

∆

D et∆sont non coplanaires :D∩∆ =∅

(25)

Positions relatives de deux plans

Deux plans de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.

Plans parallèles Plans sécants

P Q P

Q

P

Q d

Les plansP et Q sont confondus

Les plansP et Q sont strictement

parallèles

Les plansP et Q sont sécants selon une droite

d

(26)

Droite parallèle à un plan

Propriétés

Si une droite∆est parallèle à une droiteD incluse dans un planP, alors∆ est parallèle àP.

P

D

∆

(27)

Droite parallèle à un plan

Propriétés

Si une droiteDest parallèle à deux plans sécantsP₁etP₂, alors elle est parallèle à leur intersection.

P1

P2

D

∆

(28)

Droites parallèles

Théorème du toit

SoitD₁ etD₂ deux droites parallèles.

SoitP₁un plan contenant la droite D₁ etP₂un plan contenant la droiteD₂.

SiP₁et P₂sont sécants, alors leur droite d’intersection est parallèle àD₁ etD₂.

P₁

P₂

D₁ D₂

∆

(29)

Plans parallèles

Propriétés

Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

P

P^′ d₁

d₂ d^′₁ d^′₂

(30)

Plans parallèles

Propriétés

SoitP₁ et P₂ deux plans parallèles. Alors, toute droite D parallèle àP₁ est parallèle àP₂.

P₁

P₂ D

(31)

Plans parallèles

Propriétés

Si P₁ et P₂ sont deux plans parallèles, alors tout planQ qui coupe le planP₁, coupe le planP₂ et les droites d’intersection sont parallèles.

P₁ P₂

Q d₁

d₂

(32)

Exemple

Exemple :

SABCDest une pyramide.

I,JetKsont les milieux respec- tifs de[SA],[SB]et[SC].

Démontrer que les plans (IJ K) et(ABC)sont parallèles.Vidéo

(33)

Repère

Soit O un point de l’espace et trois vecteurs~ı,~et~knon coplanaires.

On dit queÄ

O;~i , ~j , ~kä

est un re- père de l’espace et queÄ

~i , ~j , ~kä est une base de l’espace.

O

~k z

x~ı

~ y

(34)

Repère

Soit O un point de l’espace et trois vecteurs~ı,~et~knon coplanaires.

On dit queÄ

O;~i , ~j , ~kä

est un re- père de l’espace et queÄ

~i , ~j , ~kä est une base de l’espace.

O

~k z

x~ı

~ y

Coordonnées

Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet (x;y; z) de nombres réels tels que :

−−→OM =x~ı+y~+z~k

(x;y;z) sont les coordonnées du point M dans le repère ÄO;~ı , ~ , ~kä

.

O

~k z

x~ı

~

H y M

xest l’abscisse,yest l’ordonnée etzest la cote du pointM. On noteM(x;y;z).

(35)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

un repère de l’espace.

(36)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

Pour tous points A(xA;yA;zA)etB(xB;yB;zB):

−−→ AB

(37)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

−−→ AB

ÑxB−xA

yB−yA

zB−zA

é

(38)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

−−→ AB

ÑxB−xA

yB−yA

zB−zA

é

Pour tous vecteurs~u Ñx

y z

é et~v

Ñx^′ y^′ z^′

é

et tout réelλ:

λ~u

(39)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

−−→ AB

ÑxB−xA

yB−yA

zB−zA

é

y z

é et~v

Ñx^′ y^′ z^′

é

et tout réelλ:

λ~u λx λy λz

!

(40)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

−−→ AB

ÑxB−xA

yB−yA

zB−zA

é

y z

é et~v

Ñx^′ y^′ z^′

é

et tout réelλ:

λ~u λx λy λz

! ,~u+~v

(41)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

−−→ AB

ÑxB−xA

yB−yA

zB−zA

é

y z

é et~v

Ñx^′ y^′ z^′

é

et tout réelλ:

λ~u λx λy λz

! ,~u+~v

x+x^′ y+y^′ z+z^′

!

(42)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

−−→ AB

ÑxB−xA

yB−yA

zB−zA

é

y z

é et~v

Ñx^′ y^′ z^′

é

et tout réelλ:

λ~u λx λy λz

! ,~u+~v

x+x^′ y+y^′ z+z^′

!

SiI est le milieu de[AB]alors : I

(43)

Propriétés

Propriétés SoitÄ

O; ~ı , ~ , ~kä

−−→ AB

ÑxB−xA

yB−yA

zB−zA

é

y z

é et~v

Ñx^′ y^′ z^′

é

et tout réelλ:

λ~u λx λy λz

! ,~u+~v

x+x^′ y+y^′ z+z^′

!

SiI est le milieu de[AB]alors : IxA+xB

2 ; yA+yB

2 ; zA+zB

2

(44)

Exemples

Exemples :

1 Dans un repère de l’espace(O;~i,~j, ~k), on considère les points A(2;−1; 4),B(6;−7; 0),C(1; 0; 1)etD(13;−16; 5).

Démontrer que les pointsA,B,CetDsont coplanaires.Vidéo

(45)

Exemples

Exemples :

1 Dans un repère de l’espace(O;~i,~j, ~k), on considère les points A(2;−1; 4),B(6;−7; 0),C(1; 0; 1)etD(13;−16; 5).

Démontrer que les pointsA,B,CetDsont coplanaires.Vidéo

2 Soit un parallélépipèdeABCDEF GH.

Iest le milieu de[CG].MetN son définis par :−−→

BM=−−→ CB+−→

CI et−−→

N F = 2−→

F G.

Dans le repère

(A;−→

AB,−−→ AD,−→

AE), donner

les coordonnées de tous les points. Placer le point K(1; 3;−1).Vidéo