Première S2 Exercices sur le chapitre 21 : E5. page n ° 1 2007 2008
E5 Savoir déterminer des sections planes.
N ° 8 ABCDEFGH est un cube. M, N, et P sont des points donnés appartenant respectivement aux arêtes [ AB ], [ EF ], et [ FG ].
a ) Déterminons l'intersection du plan ( MNP ) avec les faces ABFE, EFGH et ABCD.
M ∈ [ AB ] donc M appartient aux plans ( ABFE ) et ( MNP ).
N ∈ [ EF ] donc N appartient aux plans ( ABFE ) et ( MNP ).
Donc le plan ( MNP ) coupe la face ( ABFE ) suivant le segment [ MN ].
P ∈ [ FG ] donc P appartient aux plans ( EFGH ) et ( MNP ).
N ∈ [ EF ] donc N appartient aux plans ( EFGH ) et ( MNP ).
Donc le plan ( MNP ) coupe la face ( EFGH ) suivant le segment [ PN ].
Les plans ( EFGH ) et ( ABCD ) sont parallèles.
Or si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersections sont parallèles.
Donc le plan ( MNP ) coupe le plan ( ABCD ) et les droites d'intersection sont parallèles.
Notons Q le point d'intersection du segment [ BC ] et de la droite passant par M et parallèle à ( NP ).
Alors M ∈ [ AB ] donc M appartient aux plans ( ABCD ) et ( MNP ).
Q ∈ [ BC ] donc Q appartient aux plans ( ABCD ) et ( MNP ).
Donc le plan ( MNP ) coupe la face ( ABCD ) suivant le segment [ MQ ].
P ∈ [ FG ] donc P appartient aux plans ( BFGC ) et ( MNP ).
Q ∈ [ BC ] donc Q appartient aux plans ( BFGC ) et ( MNP ).
Donc le plan ( MNP ) coupe la face ( BFGC ) suivant le segment [ PQ ].
b ) Traçons, en rouge, la section du cube par le plan ( MNP ). C'est le quadrilatère MNPQ.
N ° 9 Dans chaque cas, ABCDEFGH est un cube et M, N et P sont des points des arêtes du cube.
Reproduisons la figure et construire en rouge la section du cube par le plan ( MNP ).
Cube 2 du n ° 9 cube 3 du n ° 9
Explications pour le dernier dessin.
Les droites ( MN ) et ( FG ) sont incluses dans le plan ( EFGH ).
Elles ne sont pas parallèles donc elle se coupent en un point noté I.
I appartient donc aux plans ( MNP ) et ( EFGH ).
Mais ( FG ) est aussi une droite du plan ( BCGF ). Etc..
Première S2 Exercices sur le chapitre 21 : E5. page n ° 2 2007 2008
Cube 4 du n ° 9 cube 5 du n ° 9
N ° 10 ABCD est un tétraèdre tel que : AB = 6 cm ; AD = 4cm ; AC = 7 cm et ADB = Æ ADC = Æ BDC = 90 °.Æ M, N et P sont les points appartenant respectivement aux côtés [ AB ], [ AD ] et [ BC ] tels que : AM = 4 cm ; AN = 2 cm et BP = 3,5 cm.
Déterminons la section du tétraèdre ABCD par le plan ( MNP ).
a ) Les points M et N appartiennent aux deux plans ( MNP ) et ( ABD ).
Donc l'intersection des plans ( MNP ) et ( ABD ) est la droite ( MN ).
M ∈ [ AB ] et N ∈ [ AD ]
donc l'intersection de la face ( ABD ) et du plan ( MNP ) est le segment [ MN ].
b ) Les points M et P appartiennent aux deux plans ( MNP ) et ( ABC ).
Donc l'intersection des plans ( MNP ) et ( ABC ) est la droite ( MP ).
M ∈ [ AB ] et P ∈ [ BC ]
donc l'intersection de la face ( ABC ) et du plan ( MNP ) est le segment [ MP ].
c ) Les droites ( MN ) et ( BD ) sont incluses dans le même plan ( ABD ) ; elles se coupent en un point appelé I.
Or la droite ( MN ) est incluse dans le plan ( MNP ) et la droite ( BD ) est incluse dans le plan ( BCD ).
Donc le point I appartient aux plans ( MNP ) et ( BCD ).
Or le point P appartient lui aussi aux plans ( MNP ) et ( BCD ).
La droite ( IP ) coupe le segment [ CD ] en un point appelé Q.
Donc l'intersection de la face BCD et du plan ( MNP ) est le segment [ PQ ].
d ) Les points Q et N appartiennent aux deux plans ( MNP ) et ( ACD ).
Donc l'intersection des plans ( MNP ) et ( ACD ) est la droite ( QN ).
Q ∈ [ CD ] et N ∈ [ AD ]
donc l'intersection de la face ( ACD ) et du plan ( MNP ) est le segment [ QN ].
e )
La section du tétraèdre ABCD par le plan ( MNP ) est donc le quadrilatère MNQP.
N ° 11
ABCD est un tétraèdre.
Les points M, N et P appartiennent respectivement aux arêtes [ AB ] , [ AC ] et [ CD ].
[ MN ] est l'intersection du plan ( MNP ) avec la face ABC.
[ NP ] est l'intersection du plan ( MNP ) et de la face ADC.
La droite ( MN ) est incluse dans le plan ( ABC ).
Et la droite ( BC ) est incluse dans le plan ( ABC ).
Ces deux droites n'étant pas parallèles, elles se coupent en un point K.
Donc le point K et le point P appartiennent aux plans ( MNP ) et ( BDC ).
Donc la droite ( PK ) est l'intersection de ( MNP ) et de ( BDC ).
La droite ( PK ) coupe le segment [ BD ] en un point appelé Q.
[ PQ ] est donc l'intersection du plan ( MNP ) et de la face ( BCD ).
[ MQ ] est donc l'intersection du plan ( MNP ) et de la face ABD.
La section du tétraèdre ABCD par le plan ( MNP ) est le quadrilatère MNPQ.
