Exercice 41 p. 44
• |z1|=q12+ (−√
3)2 =√
1 + 3 = 2 z1 = 212 −i
√ 3 2
= 2cos(−π3) + i sin(−π3) donc arg(z1) = −π3 [2π].
• z2 est un réel négatif donc |z2|= 2 et arg(z2) =π [2π]
• |z3|=
q√
32+ 32 =√
3 + 9 =√
12 = 2√ 3 z3 = 2√
3−12 + i2√33 = 2√
3−12 + i
√ 3 2
= 2√
3cos(2π3 ) + i sin(2π3 ) donc arg(z3) =
2π 3 [2π].
• |z4|=q(−4)2+ (−4)2 =√
2×42 = 4√ 2 z4 = 4√
2−√1
2 −i√12 = 4√ 2−
√ 2 2 −i
√ 2 2
= cos(−3π4 ) + i sin(−3π4 ) donc arg(z1) =
−3π4 [2π].
Exercice 44 p. 44. — Par propriété,
−→ u ,−−→
AB
= arg(zB−zA) [2π] = arg(2 + 5 i−(5 + 2 i )) [2π] = arg(−3 + 3 i ) [2π].
Posons z=−3 + 3 i . Alors, |z|=q32+ (−3)2 =√
32×2 = 3√
2. Ainsi, z = 3√
2 − 1
√2 + i 1
√2
!
= 3√ 2 −
√2 2 + i
√2 2
!
= 3√ 2
cos
3π 4
+ i sin
3π 4
donc arg(z) = 3π4 [2π] et on conclut que
−→ u ,−−→
AB
= 3π4 [2π].
Exercice 47 p. 44.
• D’après le cours, |z1|= 2 et arg(z1) = −π2 [2π].
• De même, |z2|= 3 et arg(z1) =π [2π].
• |z3|=q(−5)2+ (5√
3)2 =√
100 = 10 et ainsi z3 = 10 −1
2 + i
√3 2
!
= 10
cos
2π 3
+ i sin
2π 3
donc arg(z3) = 2π3 [2π].
• |z4|=q(−4)2+ 42 =√
42×2 = 4√
2 et ainsi z3 = 4√
2 − 1
√2+ i 1
√2
!
= 4√ 2 −
√2 2 + i
√2 2
!
= 4√ 2
cos
3π 4
+ i sin
3π 4
donc arg(z4) = 3π4 [2π].
Exercice 53 p. 45
1. Tel quel, l’énoncé est faux car, pour z = 0, zz = 0 n’a pas d’argument. Il faut donc supposer z 6= 0. Dans ce cas, l’énoncé est correct car zz =|z|2 est un réel strictement positif donc arg(zz) = 0 [2π].
2. C’est vrai d’après le cours. On peut même dire que z∈R∗+. 3. C’est faux. Siz =−i alorsz ∈iR mais arg(z) = −π2 [2π].
Exercice 56 p. 45.
• z1 = 6cos−π2+ i sin−π2.
• |z2|q52+ (−5)2 =√
52×2 = 5√
2 et ainsi z2 = 5√
2 1
√2 −i 1
√2
!
= 5√ 2
√2 2 −i
√2 2
!
= 5√ 2
cos
−π 4
+ i sin
−π 4
• |z3|q(−√
3)2+ 32 =√
12 = 2√
3 et ainsi z3 = 2√
3 −1 2 + i
√3 2
!
= 2√ 3
cos
2π 3
+ i sin
2π 3
• |z4|=q(−2)2+ (−2√
3)2 =√
16 = 4 et ainsi z4 = 4 −1
2 −i
√3 2
!
= 4
cos
−2π 3
+ i sin
−2π 3
Exercice 57 p. 45
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5
B
A C
Exercice 60 p. 45
• z1 = 212 + i
√ 3 2
= 1 + i√ 3.
• z2 = 5−
√ 2 2 + i
√ 2 2
=−5
√ 2 2 + i5
√ 2 2 .
• z3 = 3−
√ 3
2 −i12=−3
√ 3 2 −i32.
• z4 = i .
Exercice 1 p. 64
1. π4 +π6 = 3π+2π12 = 5π12. 2. On en déduit que
cos
5π 12
= cos
π 4 +π
6
= cos
π 4
cos
π 6
−sin
π 4
sin
π 6
=
√2 2 ×
√3 2 −
√2 2 × 1
2 =
√6−√ 2
4 .
et
sin
5π 12
= sin
π 4 + π
6
= sin
π 4
cos
π 6
+ sin
π 6
cos
π 4
=
√2 2 ×
√3 2 +
√2 2 × 1
2 =
√6 +√ 2
4 .
Exercice 2 p. 64
1. π4 − π6 = 3π−2π12 = 12π. 2. On en déduit que
cos
π 12
= cos
π 4 − π
6
= cos
π 4
cos
π 6
+ sin
π 4
sin
π 6
=
√2 2 ×
√3 2 +
√2 2 × 1
2 =
√6 +√ 2
4 .
et
sin
π 12
= sin
π 4 − π
6
= sin
π 4
cos
π 6
−sin
π 6
cos
π 4
=
√2 2 ×
√3 2 −
√2 2 × 1
2 =
√6−√ 2
4 .
Exercice 4 p. 64
1. π3 − π4 = 4π−3π12 = 12π. 2. On en déduit que
cos
π 12
= cos
π 3 − π
4
= cos
π 3
cos
π 3
+ sin
π 3
sin
π 4
=
√3 2 ×
√2 2 +
√2 2 × 1
2 =
√6 +√ 2
4 .
et
sin
π 12
= sin
π 3 − π
4
= sin
π 3
cos
π 4
−sin
π 4
cos
π 3
=
√3 2 ×
√2 2 −
√2 2 × 1
2 =
√6−√ 2
4 .
Exercice 6 p. 64
1. Pour tout réel a, cos(2a) = 2 cos2(a)−1 donc cos2(a) = 1 + cos(2a)
2 .
2. Poura= π8, on en déduit que cos2(π8) = 1 + cos(π4)
2 = 1+
√ 2 2
2 = 2+
√ 2
4 . Comme 0< π8 < π2, on en déduit que cos(π8)>0 donc cos(π8) = q2+
√2
4 =
√
2+√ 2
2 .
3. Poura= 7π12, on en déduit que cos2(7π12) = 1 + cos(7π6 )
2 = 1−
√ 3 2
2 = 2−
√3
4 . Comme π2 < 7π8 <
π, on en déduit que cos(7π12)<0 donc cos(7π12) = −q2−
√3
4 =−
√
2−√ 3
2 .
Exercice 13 p. 64. Soit a et b deux réels. Alors,
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) et
sin(a−b) = sin(a) cos(b)−sin(b) cos(a).
En ajoutant membre à membre ces égalités, on obtient sin(a+b) + sin(a−b) = 2 sin(a) cos(b) et donc sin(a) cos(b) = 12[sin(a+b) + sin(a−b)].
