TSI 1 DS Lycée Les Lombards
Corrige DS4 : décembre 2020 Exercice 1 1. On a
Z1 = 1−2 + 3i
= −1 + 3i
Z2 = (2 + 6i)(3 +i) 9 + 1
= 6−6 + 18i+ 2i 10
= 2i et
Z3 = −4i(−1−i) 2
= −4 + 4i 2
= −2 + 2i 2.
Z3−Z1
Z2−Z1 = −2 + 2i−(−1 + 3i) 2i−(−1 + 3i)
= −1−i 1−i
= −i 3. on a
Z3−Z1
Z2−Z1
= | −i|
= 1 donc le triangle M1M2M3est isocèle en M1.
arg
Z3−Z1
Z2−Z1
= arg(−i)
= −π 2[2π]
donc le triangle M1M2M3est rectangle en M1.
4. Il suffit de déterminer M4 tel que le quadrilatère M1M1M4M3 soit un parallélogramme (puisqu’un pa- rallélogramme ayant deux cotés consécutifs de même longueur et perpendiculaires est un carré). Or M1M2M4M3est un parallélogramme si et seulement si−−−−→
M1M2=−−−−→
M3M4si et seulement siZ2−Z1=Z4−Z3
si et seulement siZ4=−1 +i.
Exercice 2. 4 pointsOn considère l’équation (E)
z4+ 3iz3−(3i+ 2)z2+ (10−3i)z+ 3i−9 = 0 1. Soitx∈ROn a
x4+ 3ix3−(3i+ 2)x2+ (10−3i)x+ 3i−9 = 0 ⇔
x4−2x2+ 10x−9 = 0 3x3−3x2−3x+ 3 = 0
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1 est solution évidente des deux équation donc solution de l’équation (E).
Il existe un polynôme P de degré 3 tel que
z4+ 3iz3−(3i+ 2)z2+ (10−3i)z+ 3i−9 = (z−1)P(z) En écrivantP(z) =z3+az2+bz+cet en développant le produit (z−1)P(z) on trouve
(z−1)P(z) =z4+ (a−1)z3+ (b−a)z2+ (c−b)z−c la condition z4+ 3iz3−(3i+ 2)z2+ (10−3i)z+ 3i−9 = (z−1)P(z) donne alors
a−1 = 3i b−a=−3i−2 c−b= 10−3i
−c= 3i−9
ce qui donnea= 1 + 3i,b=−1,c= 9−3i. On a donc, pour toutz∈C,
x4+ 3ix3−(3i+ 2)x2+ (10−3i)x+ 3i−9 = (z−1)(z3+ (1 + 3i)z2−z+ 9−3i) 2. L’équationP(z) = 0 posssède une racine imaginaire pure égale à−3i
3. D’éaprès la question précédente, on a l’existence de constantes a0 et b0 telles que pour tout z ∈ C, P(z) = (z+ 3i)(z2+az+b) et par identification des coefficients on trouvea0 = 1 etb0=−1−3i.
4. En résolvant l’équation de degré deux restante, on trouve finalement que S={1 +i;−3i;−2−i; 1}
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