ii) Montrer que∀z1, z2

Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche

Analyse complexe 29 janvier 2016

Feuille 2

Automorphismes du disque

On note ∆ le disque unit´e (ouvert) du plan complexe et φ_a(z) = z−a

1−¯az pour a, z∈∆.

Exercice 1. – Automomorphismes i) D´eterminer φ⁰_a,φ_a◦φ_b etφ⁻¹_a .

ii) Montrer que∀z₁, z₂ ∈∆, ∃a|z₂ =φ_a(z₁).

iii) D´eterminer les points fixes deφa.

Exercice 2. – Lemme de Schwarz-Pick Soit f : ∆→∆ holomorphe.

i) Montrer que pour tous z, w∈∆,

f(z)−f(w) 1−f(w)f(z)

≤

z−w 1−wz¯

et|f⁰(z)| ≤ 1− |f(z)|² 1− |z|² . ii) Soit 0< r <1 : montrer que si|a| ≤r et|b| ≤r eta6=b, alors

f(a)−f(b) a−b

≤ 1

1−r².

Exercice 3. – Formule de Jensen

Soit 0< r < R, etf holomorphe sur D(0, R) v´erifiantf(0)6= 0.

i) D´eterminer les automorphismes deD(0, r).

ii) Justifier quef n’a qu’un nombre fini de z´eros dansD(0, r) : on les note z₁, . . . , z_n (r´ep´et´es selon leur multiplicit´e).

iii) Montrer que rⁿ|f(0)|

|z₁|. . .|z_n| ≤ Max

∂D(0,r)|f|.

Exercice 4. – Une distance sur Hol(∆)

Soit f, g deux fonctions holomorphes sur ∆. Pourk∈N^∗, on pose

kf−gk_k:= Max

|z|≤1−¹

k

|f(z)−g(z)| et d(f, g) :=

+∞

X

k=1

min(1,kf−gk_k) 2^k

i) Montrer qued(f, g) a bien un sens et d´efinit une distance sur Hol(∆).

ii) Soit (f_n)_n une suite de fonctions holomorphes sur ∆, et f holomorphe sur ∆ : v´erifier que d(fn, f)−−−−−→

n→+∞ 0 ssi (fn)n converge uniform´ement sur tout compact de ∆ vers f. 1

iii) Posons φ(z) = φ_1/2(z) pour z ∈ ∆. Montrer qu’il existe a_n ∈]0; 1[ tel que φ^◦n = φ_an et d´eterminer une relation de r´ecurrence entre les a_n.

iv) Comment se comporte la suite (a_n) ? En d´eduire que la suite (φ^◦n)_nconverge uniform´ement sur tout compact vers la fonction constante ´egale `a -1. L’ensemble des automorphismes Aut(∆) est-il compact dans (Hol(∆), d) ?

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