Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences Exactes Examen de rattrapage
d’Arithmétique
Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes
22/12/2020
L’˚u¯sfi`a`g´e `dffl’˚u‹n`e `c´a˜l´cˇu˜l´a˚tˇr˚i`c´e `e˙sfi˚t ”n`o“nffl `a˚u˚t´o˘r˚i¯sfi`é
Exercice 1 (8 points) :
Considérons dans Z2 l’équation diophantienne linéaire :
513x−98y = 15. (⋆)
1. Montrer que l’équation (⋆)possède des solutions dans Z2.
2. En utilisant l’algorithme d’Euclide (ou sa variante due à Blankinship), déterminer une solution particulière pour (⋆) dans Z2.
3. Résoudre (⋆)dans Z2.
4. Dans un plan muni d’un repère orthonormé, déterminer le point (x, y) ∈ Z2, solution de (⋆), qui soit le plus proche de la droite∆d’équation : y = 6x+ 8. Préciser la valeur de la distance de ce point par rapport à cette droite.
Exercice 2 (7 points) :
Montrer que les deux équations diophantiennes suivantes n’ont pas de solution dans Z3 :
x3+y3 = 7z+ 3, (1)
x4+y4 = z4+ 3. (2)
Exercice 3 (5 points) :
Soit p un nombre premier≥5. On définit :
n := 4p−1 3 . 1. Montrer que n est un entier strictement positif.
2. Montrer que n est composé (c’est-à-dire qu’il n’est pas premier).
3. (a) Montrer que n est impair.
(b) Montrer que l’on a : n≡1[p].
(c) En déduire que n est de la forme 2kp+ 1 (k ∈N).
(d) En se basant sur le résultat de la question (c), montrer que n vérifie la congruence∗ : 2n ≡ 2[n].
Bon travail B. Farhi
∗. Un entier naturel composé qui vérifie une telle congruence s’appelle « un nombre pseudo-premier ».
