Université A. Mira de Béjaia Année universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences Exactes Examen d’Arithmétique
Département de Mathématiques Durée : 1 heure 30 minutes
24/11/2020
L’˚u¯sfi`a`g´e `dffl’˚u‹n`e `c´a˜l´cˇu˜l´a˚tˇr˚i`c´e `e˙sfi˚t ”n`o“nffl `a˚u˚t´o˘r˚i¯sfi`é
Exercice 1 (8 points) :
Considérons l’équation diophantienne linéaire :
105x+ 11y = 228230. (⋆)
1. Montrer que l’équation (⋆)possède des solutions dans Z2. 2. En utilisant la méthode des congruences, résoudre (⋆) dans Z2.
3. Déterminer le nombre exacte de solutions de (⋆) dansN2 (on ne vous demande pas d’écrire ces solutions).
4. Déterminer les solutions (x, y) ∈ Z2 de (⋆) pour lesquelles la quantité |x−y| est minimale.
Préciser cette valeur minimale.
Exercice 2 (7 points) : Montrer que les deux équations diophantiennes suivantes n’ont pas de solution dansZ3 :
3x2+ 5y2 = 8z+ 2, (1)
x3+y3+z3 = 4. (2)
Exercice 3 (5 points) :
Soit pun nombre premier impair et N := p2−1
2 . En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que le nombre :
1p−1+ 2p−1+· · ·+Np−1 est un multiple de p.
Bon travail B. Farhi
