Montrer que Q(z1, z2

Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3

Mathématiques Année 2013–2014

FEUILLE D’EXERCICES n^o7 Polynômes symétriques

Exercice 1 – Soient A un anneau intègre et K son corps des fractions. Soit P(X) ∈ A[X] unitaire de degré n > 1 admettant n racines z1, z2, . . . , zn dans K (ou dans une extension de K). Soit Q(X1, X2, . . . , Xn) ∈ A[X1, X2, . . . , Xn] symétrique. Montrer que

Q(z₁, z₂, . . . , z_n)∈A.

Exercice 2 –

1) soit A un anneau commutatif. Exprimer en fonctions de Σ₁,Σ₂,Σ₃, les poly- nômes de A[X₁, X₂, X₃] suivants :

(1) (X₁+X₂)(X₁+X₃)(X₂+X₃);

(2) (X₁−X₂)⁴+ (X₁−X₃)⁴+ (X₂−X₃)⁴;

(3) X₁³X₂²+X₁³X₃²+X₂³X₁²+X₂³X₃²+X₃³X₁² +X₃³X₂².

2) Soient trois complexes x, y, z vérifiant x+y+z = 0. Montrer que x⁵+y⁵+z⁵

5 = x²+y² +z²

2 × x³+y³+z³

3 .

3) Déterminer x, y, z ∈ (Z/17Z)^× tels que x+y+z = 1, x⁻¹+y⁻¹ +z⁻¹ = 1, x⁻²+y⁻²+z⁻² =−1.

4) On note a, b, c, d les racines complexes de X⁴ −X³ + 3X−4. Calculer a³ + b³+c³+d³.

5) Soient a, b, c∈C les racines de X³+X²−2X+ 1. Déterminer un polynôme de Z[X] de degré 3 ayant comme racines a²−bc, b²−ac, c²−ab.

Exercice 3 –

1) Soient M un réel > 0 et n > 0 un entier. On note E_n,M l’ensemble des polynômes P(X)∈Z[X]unitaires de degré ndont toutes les racines dans Csont de module< M. Montrer que E_n,M est un ensemble fini.

2) Quel est le cardinal de E_n,1?

3)On note E_nl’ensemble des polynômesP(X)∈Z[X] unitaires de degrén dont toutes les racines dans Csont de module 61, qui est donc fini, car par exemple inclus dansEn,2. Montrer que siP(X)∈En, ses racines non nulles dansC (s’il y en a) sont de module 1.

4)Donner des exemples de polynômes deE_nn’ayant pas0comme racine. Donner un exemple de polynôme de E_n ayant n racines complexes non nulles distinctes.

5) Montrer que l’ensemble des racines complexes des éléments de E_n est fini.

6) Soit m un entier > 1. Si P(X) = Qn

i=1(X−xi) ∈ En, montrer que Q(X) = Qn

i=1(X−x^m_i )∈E_n.

7) En déduire que quel que soit P(X) ∈ E_n, ses racines dans C, si elles ne sont pas nulles, sont des racines de l’unité, i.e. si α ∈ C vérifie P(α) = 0, soit α = 0, soit il existe un entier k >1tel que α^k= 1 (théorème de Kronecker).

Exercice 4 – Soient K un corps de caractéristique différente de 2. Si P ∈ K[X₁, . . . , X_n] et σ∈S_n on note σ·P le ploynômeP(X_σ(1), X_σ(2), . . . , X_σ(n)).

1) Soit P ∈ K[X₁, . . . , X_n]. Montrer que les assertions suivantes sont équiva- lentes :

(i) Pour tout i6=j, si on échange X_i et X_j dans P on obtient −P. (ii) Pour tout σ ∈S_n, on a σ·P =ε(σ)P oùε(σ) est la signature deσ.

Un polynôme vérifiant (i) ou (ii) est dit antisymétrique.

2) Montrer que ∆ =Q

i<j(X_j −X_i) est antisymétrique.

3) Montrer qu’un polynôme ∈K[X₁, . . . , X_n] est antisymétrique si et seulement s’il est le produit de ∆et d’un polynôme symétrique de K[X₁, . . . , X_n].

4) Soit P ∈ K[X₁, . . . , X_n] tel que σ·P = P pour toute permutation σ paire.

Montrer que σ·P prend au plus deux valeurs lorsque σ parcourt S_n.

5) Sous les mêmes hypothèses montrer qu’il existe un unique couple (A, B) de polynômes symétriques de K[X₁, . . . , X_n] tel que P = A+B∆. Étudier la réci- proque.

Exercice 5 – Soient A un anneau (commutatif) et n > 2. Pour tout k > 0 on pose S_k=Pn

i=1X_i^k ∈A[X₁, . . . , X_n], avec la conventionS₀ =n.

1) Déterminer les coefficients de G = Qn

i=1(X − X_i) ∈ A[X₁, . . . , X_n][X] en fonction des Σi (16i6n).

2) Soit B un anneau (commutatif), b ∈ B, H = Xⁿ +Pn−1

i=0 a_iXⁱ ∈ B[X].

Expliciter le quotient et le reste de la division euclidienne de H par X−b.

3) Exprimer G/(X−X_j) = Q

i6=j(X−X_i)en fonction des Σ_i.

4) En exprimant de deux façons différentes G⁰ le polynôme dérivé de G par rapport à X, démontrer que

S_k+

k−1

X

i=1

(−1)ⁱΣ_iSk−i+ (−1)^kkΣ_k = 0 (16k 6n).

5) Supposonsk >n. En évaluantX^k−nG enX_i montrer que S_k+

n

X

i=1

(−1)ⁱΣ_iSk−i = 0 (k >n).

Ces formules sont appelées les identités de Newton ou encore les formules de Newton-Girard.