Universit´e P. et M. Curie Sylvie Delabri`ere Licence de Math´ematique LM 383 : Equations diff´erentielles, Ann´ee 2004-2005 M´ethodes de r´esolution num´erique
Examen du 8 Septembre 2005 (sans document ni calculette)
I
On consid`ere le syst`eme diff´erentiel, d´efini pour t ≥0 par :
(P)
y′1(t) +y13(t) =y2(t), y′2(t) +y23(t) =y1(t), y1(0) =y01 ,
y2(0) =y02.
1) Ecrire cette ´equation diff´erentielle sur R2 sous la forme y′(t) = f(t, y(t)) et montrer qu’elle admet une unique solution locale pour toute condition initiale.
2)Montrer, en trouvant une fonction de Liapounov pourf, que cette ´equation diff´erentielle admet une solution unique pour toute condition initiale.
3) Trouver toutes les solutions constantes de (P).
4) On effectue le changement de fonctions : ( z1(t) = y1(t)+y2 2(t)
z2(t) = y1(t)−2y2(t)
Ecrire le syst`eme diff´erentiel (P′) v´erifi´e par (z1(t), z2(t)).
5) a) On suppose que z1(0) = 0. Montrer, en utilisant l’unicit´e des solutions de (P′), que les solutions du syst`eme (P′) v´erifient z1(t) = 0 pour tout t.
b) En d´eduire que siz1(0)>0 (respectivement <0), alorsz1(t)>0 (respec- tivement <0) pour tout t.
c) D´emontrer de la mˆeme fa¸con que si z2(0) = 0, alors z2(t) = 0 pour tout t et que si z2(0) > 0 (respectivement < 0), alors z2(t) > 0 (respectivement
<0) pour tout t.
6) a) Montrer que si z2(0) > 0, alors z2′(t) ≤ −z2(t) pour tout t ≥ 0 et en d´eduire, en utilisant le lemme de Gronwall, que z2(t)→0 quand t → ∞.
b) Montrer que si z2(0)<0, alors z2(t)→0 quand t→ ∞.
c) Montrer que la fonction z2(t) est d´ecroissante si z2(0)>0 et croissante si z2(0)<0.
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Les question 7) et 8) sont hors barˆeme : on peut les admettre et continuer le probl`eme.
7) On suppose que z1(0)>0.
a) Soit 0< ε < 1 2.
i) En utilisant l’´equation z′1(t) =z1(t)[1−(z12(t) + 3z22(t))] et le th´eor`eme des accroissements finis, montrer par l’absurde qu’il existet0tel quez1(t0)≤1+ε.
ii) En utilisant le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, montrer par l’absurde que pour t ≥t0, z1(t)≤1 +ε.
iii) SoitT ≥0 tel quez2(t)≤εpourt ≥T. Reprendre les ´etapes i) et ii) pour montrer par l’absurde, qu’il existe t1 ≥T tel que pour t≥t1,z1(t)≥1−ε.
b) En d´eduire que z1(t)→1 quand t→ ∞.
8) Montrer de mˆeme que, lorsque z1(0)<0,z1(t)→ −1 quand t→ ∞.
9) D´eduire des questions pr´ec´edentes le comportement quand t → ∞ de la solution (z1(t), z2(t)) de (P′) en fonction de z1(0).
10) En d´eduire le comportement quand t → ∞ de la solution (y1(t), y2(t)) de (P) en fonction de y01 et y02.
II
Soient x0, x1, . . . , xk ∈[a, b],k+ 1 points deux `a deux distincts. On consid`ere l’op´erateur deC([a, b]) dans Pkd´efini par :Lk(f) =pk, o`upkest le polynˆome d’interpolation d’ordre k de f associ´e aux points x0, x1, . . . , xk.
1) Montrer queLk est un op´erateur lin´eaire continu, de norme Λk,telle que :
||Lk||= Λk= sup ( k
X
i=0
|li(x)|
!
/ x∈[a, b]
)
o`u lesli(x), i= 0,1, . . . ksont les polynˆomes de base de degr´ek associ´es aux points x0, x1, . . . , xk.
2) On se place dans le cas de points ´equidistants et on cherche `a montrer l’estimation : 2k
4k2 ≤Λk ≤2k. On pose xi =a+ih , 0 ≤i≤k, h= (b−a) k et x=a+sh avec s∈[0, k]. On rappelle l’identit´e :
k
X
i=0
Cki = 2k.
a)Montrer que, pour touti= 0,1, . . . k,li(x) = (−1)k−is(s−1)· · ·(s\−i). . .(s−k)
i!(k−i)! ,
o`u (s\−i) d´esigne un facteur omis.
b) Montrer la minoration en prenant s= 1 2. c) Montrer la majoration.
2
