Chapitre 4 : droite, plan et vecteurs de l’espace.
Nous nous plaçons dans ce chapitre dans l’espaceE.
I Les attendus
• Positions relatives.Page 271
• Construire une section.Page 273
• Démontré l’orthogonalité de deux droites.Page 275
• Appliquer le théorème du "toit".Page 273
II Position relative de droite et de plan : exemple cube
A Positions relatives de deux droites.
La position relative de deux droites deE :
• Coplanaires (elles appartiennent au plan) :
˝ Sécantes avec la cas particulier où elles sont perpendiculaires
˝ Parallèles
˝ Confondues
• Non coplanaires, avec le cas particulier elles sont orthogonales sans être sécantes.
Proposition 1
Figures exemples :
B Positions relatives d’une droite et d’un plan : exemple cube
La position relative d’une droite et d’un plan deE :
• Sécante, avec le cas particulier où la droite et le plan sont perpendiculaires
• Parallèles Proposition 2
Figures exemples :
C Positions relatives de deux plans : exemple cube
La position relative deux plans deE :
• Sécante, avec le cas particulier où les deux plans sont perpendiculaires
• Parallèles Proposition 3
Figures exemples :
III Parallélisme dans l’espace
A Parallélisme de deux droites
• Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
• Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une coupera l’autre.
Proposition 4
B Parallélisme d’un plan et une droite
Si un planP contient une droitedparallèle à une droite ∆, alorsP et ∆ sont parallèles.
.
Proposition 5
Si une droite det un plan P sont parallèles, alors tout plan contenant d et sécant à P, coupe P selon une droite parallèle àd
.
Proposition 6
SiP etR sont deux plans sécants suivants la droite ∆.
Si une droiteddeP est parallèle à une droited1 deRalors la droite ∆ est parallèle àdetd1.
.
Proposition 7
C Parallélisme de plans
Si deux plansP etR sont parallèles alors :
• Tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre
• Tout plan qui coupe l’un, coupe l’un coupe l’autre par une droite qui lui est parallèle Proposition 8
IV Orthogonalité dans l’espace
A Orthogonalité de deux droites
On dira que deux droites sont perpendiculaires si leur direction (voir chapitre sur les vecteurs) sont orthogonales.
Deux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes.
Définition 1
B Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan, si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Définition 2
Une droite est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan, si elle est orthogonale à deux sécantes ce plan.
.
Proposition 9
C Propriétés
• Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.
• Deux droites orthogonales à un même plan plan sont parallèles.
.
Proposition 10
• Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.
• Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
.
Proposition 11
D Projeté orthogonal
Soit un pointM et un planP de l’espace. Le projeté orthogonal deM surP est l’unique point d’intersection de la perpendiculaire àP passant parM avec le planP.
Définition-Proposition 12
Soit un pointM et une droitedde l’espace. Le projeté orthogonal deM surdest l’unique point d’intersection du plan perpendiculaire àdpassant par M avec la droited.
Définition-Proposition 13
E Exercices
Exercice 1.
On considère un cube ABCDEFGH donné ci-dessous.On noteM le milieu du segmentrEHs,N celui derF Cset P le point tel queÝÝÑ HP “ 1
4 ÝÝÑ HG.
Partie A
1. Justifier que les droitespM Pqet pF Gqsont sécantes en un pointL. Construire le pointL.
2. On admet que les droitespLNqet pCGqsont sécantes et on note T leur point d’intersection.
On admet que les droitespLNqet pBFqsont sécantes et on note Qleur point d’intersection.
(a) Construire les pointsT et Qen laissant apparents les traits de construction.
(b) Construire l’intersection des planspM N Pqet pABFq
3. En déduire une construction de la section du cube par le planpM N Pq.
Partie B
L’espace est rapporté au repère
´ A,ÝÝÑ
AB,ÝÝÑ AD,ÝÑ
AE
¯
1. Donner les coordonnées des pointsM,N etP dans ce repère.
2. Déterminer les coordonnées du pointL.
3. Déterminer les coordonnées du pointT. Le triangleT P N est-il rectangle enT? Corrigé
Exercice 2.
Soit ABCDEF GH un cube. Dans les trois cas suivants (K appartient au segment rF Gs,K appartient au segmentrGHs, K appartient au segment rHEs), tracer les sections du cube par le plan pIJ Kq (I appartient au segment rBFs etJ appartient au segmentrEFs) en perspective cavalière.CorrigéV Vecteurs de l’espace
A Définitions
À tout couplepA;Bqde points de l’espace, on associe le vecteurVABdéfini de la façon suivante :
— SiA‰B, le vecteurVABa :
- pour directioncelle de la droitepABq; - pour senscelui de A vers B ;
- pour normela longueurAB. On note ||VAB|| “AB.
— SiA“B, le vecteurVAAest le vecteur nul, on le noteV0.
Définition 3
— Dire que deux vecteursVABetVCDsontégauxsignifie queABDCest un parallélogramme, éventuellement aplati.
Dans ce cas, VAB et VCD sont les représentantsd’un même vecteur Vu. On noteVu“VAB“VCD.
— Pour tout point E de l’espace et tout vecteur Vv, il existe un unique pointF tel queVEF “Vv.
Définition 4(Égalité de deux vecteurs)
AC DB Vu Vu
Remarque: Deux vecteurs non nuls sontégaux lorsqu’ils ont même direction, même sens et même norme.
B Opérations sur les vecteurs
Les opérations sur les vecteurs du plan s’étendent aux vecteurs de l’espace.
Rappels
Relation de Chasles
Pour tous pointsA, B etC de l’espace on a :VAB`VBC“VAC.
VAB VBCABC
Règle du parallélogramme
SoitA,BetCtrois points distincts. La sommeVAB`VACest le vecteur VAD, oùDest le point tel queABDC est un parallélogramme.
VAB VACABC
Exemple 1. ABCD est un tétraèdre de l’espace.Iest le milieu de l’arêterCDs.Gest le centre de gravité du triangleBCD.
ÝÝÑ ÝÑ ÝÝÑ ÝÑ
C Colinéarité, parallélisme et alignement
Dire que deux vecteursVABet VCD sontcolinéairessignifie que les droites pABqetpCDqsont parallèles.
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Définition 5
A B E F C D
Deux vecteurs non nulsVuetVv sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombrektel que Vv“kVu.
Proposition 14
Trois pointsA,B et Cde l’espace sont alignés si, et seulement si, les vecteursVABet VAC sont colinéaires.
Les droitespABqetpCDqsont parallèles si, et seulement si, les vecteursVABet VCDsont colinéaires.
Proposition 15
Aet B sont deux points distincts de l’espace.
La droitepABqest l’ensemble des points M tels que VAM etVAB sont colinéaires, c’est-à-dire l’ensemble des pointsM tels queVAM “tVAB, avectréel.
Théorème 16
Démontrer l’alignement par décomposition de vecteurs Vidéo 1
Exercices 10 et 11 page 297.
VI Vecteurs coplanaires
SoitA,BetCtrois points non alignés de l’espace et soitP le plan pABCq.
Un pointM appartient au planP si, et seulement si, il existe des réelsxet y tels queVAM“xVAB`yVAC.
Théorème 17
A B PMC
De façon générale, un plan est défini par un pointA et deux vecteurs non colinéaires Vuet Vv. On parle alors du plan pA;Vu;Vvq. On dit queVuetVv sont desvecteurs directeursde ce plan.
Deux plans qui ont deux vecteurs directeurs en commun sont parallèles.
Proposition 18
Définition 6
Vu,Vv etVwsont des vecteurs de l’espace tels queVuetVv ne sont pas colinéaires.
Vu,Vv etVwsontcoplanairessi, et seulement si, il existe des nombres réelsaet btels queVw“aVu`bVv.
Proposition 19
Conséquences
1. Dire que 4 pointsA,B,CetDsontcoplanaireséquivaut à dire que les vecteursVAB,VACetVADsont coplanaires.
2. Dire que les droites pABq et pCDq sont coplanaires équivaut à dire que les vecteurs VAB, VAC et VAD sont coplanaires.
3. Dire que deux plans sont parallèles équivaut à dire que deux vecteurs non colinéaires de l’un et deux vecteurs non colinéaires de l’autre sont coplanaires.
Exercices 13 à 15 page 299 puis 33 à 50 page 303 à 305
VII Repérage dans l’espace
Un repère de l’espace, noté pO;Vi;Vj;Vkq est formé d’un point O et d’un triplet pVi;Vj;Vkq de vecteurs non coplanaires.
Définition 7
pO;Vi;Vj;Vkqest un repère de l’espace.
Pour tout point M de l’espace, il existe un unique tripletpx;y;zq de nombres réels tels queVOM “xVi`yVj`zVk.
Proposition 20
Vocabulaire : px;y;zq sont les coordonnées du point M ou du vecteur VOM dans le repèrepO;Vi;Vj;Vkq.
xest l’abscisse,yest l’ordonnée etzest la cote du pointM dans ce repère.
O MVMVxyzji1 Vk
Vu,Vv etVwsont trois vecteurs non coplanaires.
Pour tout vecteurVV, il existe un unique triplet de nombrespx;y;zqtels que VV “xVu`yVv`zVw.
px;y;zqsont lescoordonnées de VV dans la basepVu;Vv;Vwq.
Théorème 21
Calculs sur les coordonnées
— SiVuetVv ont pour coordonnées respectivespx;y;zqetpx1;y1;z1qdans le repèrepO;Vi;Vj;Vkqalors : - le vecteurVu`Vv a pour coordonnées . . . .
- pour tout réelλ, le vecteurVλua pour coordonnées . . . .
— SiA etB ont pour coordonnéespxA;yA;zAqetpxB;yB;zBqalors : - le vecteurVABa pour coordonnées . . . .
