D1900. Un X fixe
Soient un triangle ABC et un point P variable sur la droite BC de sorte que C est situé entre B et P et les cercles inscrits aux triangles ABP et ACP se rencontrent en deux points D et E.Montrer que la droite DE passe par un point fixe X indépendant de la position de P .
Les cercles inscrits aux triangles ABP etACP touchent le côté BP en S et T. La droite DE est l'axe radical de ces deux cercles. Il coupe BP en un point L. Les segments LS et LT ont même longueur.
La droite DE peut être définie comme droite passant par L et de direction perpendiculaire à la bissectrice de l'angle APB.
Dans le triangle ABP on a BS = (BA + BP – AP)/2
Dans le triangle ACP on a TP = (AP + CP – AC)/2 d'où BT = (2BP – AP – CP + AC)/2 ou bien BT = (BP + BC– AP + AC)/2 , ( car BP – CP = BC ).
Alors BL = (BS+BT)/2 = ( BA + BP – AP+ BP + BC– AP + AC)/4 BL = (BP – AP)/2 + (BC+CA+AB)/4
Oublions provisoirement la constante (BC+CA+AB)/4 et examinons la figure suivante où A' est le symétrique de A par rapport à la bissectrice de APB.
BL = BA'/2 = (BP – AP)/2. Quand P varie sur la droite BC de sorte que C est situé entre B et P , A' et L varient sur cette même droite. Le milieu de AA' varie sur une droite Δ déduite de la droite BC par Hom(A,1/2). Comme la droite rouge est parallèle à AA' et que L est milieu de BA', la droite rouge passe toujours par le point fixe K = AB∩ Δ qui est le milieu de AB.
La droite DE passe toujours par le point fixe X déduit du milieu K de AB par la translation de vecteur V caractérisé par la direction BC, le sens de B vers C, la longueur ‖V‖ = (BC+CA+AB)/4.
