Suites et limites

Suites et limites

I) Un raisonnement « récurrent » :

1) A partir d’un exemple :

• Exemple 1

Abonnements à « PARIS MATHS »

Un éditeur veut faire paraître un nouveau magazine mensuel intitulé « PARIS MATHS », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lors

que le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3 000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8 000 la première année, que le taux de réabonnement serait de 80 % et que, chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.

𝑛 étant un entier naturel, on note, dans cette activité, 𝑎_𝑛 le nombre d’abonnés à l’année 𝑛. On suppose que 𝑎₁ = 8 000.

A. Point de vue éditorial :

A l’aide d’un tableur, déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de 𝑎_𝑛 et en colonne C, le résultat arrondi à l’entier près de la colonne B.

Rappel : En colonne C, penser à utiliser la fonction : « =ARRONDI(nombre ; n° chiffre) »

1) Représenter graphiquement, à l’aide du tableur, le nombre d’abonnés en fonction de l’année, sur 5, 10, 15, 20, 25, 30, 40 et 50 années.

2) Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.

3) Le magazine semble-t-il pérenne dans le temps ?

B. Point de vue mathématique :

Dans cette partie, 𝑛 est un entier supérieur ou égal à 1.

1) Expliciter une relation entre 𝑎_𝑛+1 et 𝑎_𝑛.

2) On définit, pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, la suite (𝑏_𝑛) par : 𝑏_𝑛 = 𝑎_𝑛− 3 000

Montrer que la suite (𝑏_𝑛) est géométrique, puis déterminer les éléments caractéristiques de cette suite, ainsi qu’une formule explicite de 𝑏_𝑛.

3) En déduire, pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, 𝑎_𝑛 en fonction de 𝑛.

4) Justifier que la suite (𝑎_𝑛) est strictement décroissante et qu’elle est minorée par 3 000.

5) a) Montrer que 𝑎_𝑛 = 3 000 si, et seulement si, 𝑎_𝑛+1= 3 000.

b) La suite (𝑎_𝑛) peut-elle atteindre la valeur de 3 000 ?

c) Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autant 𝑎_𝑛 = 3 000, à partir d’un certain rang ? 6) Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine « PARIS

MATHS ».

• Exemple 2

Démontrer « Pour tout »

On considère la suite numérique (𝑢_𝑛) définie, pour tout entier naturel 𝑛, par : {𝑢₀ = 1

𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛 + 2𝑛 − 1 1) Calculer les trois premiers termes de la suite (𝑢_𝑛).

2) On utilise un tableur pour obtenir 𝑢₀, 𝑢₁ jusqu’à 𝑢₁₁.

a) Quelle formule, à étirer vers le bas jusqu’en cellule B13, peut-on écrire en cellule B3 ?

b) Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal ( 𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗ ) l’ensemble des points de coordonnées (𝑛 ; 𝑢_𝑛) pour 𝑛 entier compris entre 0 et 11.

c) Conjecturer l’expression de 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛.

d) A l’aide du tableur, vérifier que la conjecture est toujours exacte avec de grandes valeurs de l’entier 𝑛 (par exemple 𝑛 = 100 ; 557 ; 1 284 …).

3) Pour tout entier naturel 𝑛, on définit la propriété 𝑃(𝑛) par : 𝑢_𝑛 = (𝑛 − 1)².

a) Qu’est-ce que l’étude précédente sur tableur, laisse à penser de la propriété P ? b) Démontrer que la propriété 𝑃(𝑛) est héréditaire, c’est-à-dire que, pour tout 𝑛

entier naturel fixé : 𝑃(𝑛) est vraie implique que 𝑃(𝑛 + 1) est vraie.

c) Peut-on, à partir de cette propriété d’hérédité, en déduire que la propriété 𝑃(𝑛) est vraie, pour tout 𝑛 entier naturel ?

4) On remplace le contenu de la cellule B2 par la valeur 𝑢₀ = 2.

a) Effectuer le changement sur la feuille de calcul et écrire en face, dans la colonne C les termes de la séquence « (𝑛 − 1)² », pour 𝑛 entier naturel compris entre 0 et 11.

b) Conjecture-t-on toujours que, pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛) est vraie ?

c) Démontrer que la propriété 𝑃(𝑛) est, pour autant, toujours héréditaire.

5) Soit 𝑄(𝑛) une propriété dépendant d’un entier naturel 𝑛.

a) Expliquer pourquoi le seul fait de savoir que la propriété 𝑄 est héréditaire ne peut pas permettre de justifier que cette propriété 𝑄 est vraie pour tout entier naturel 𝑛.

b) Que faudrait-il savoir au moins en plus pour décider que 𝑄 est vraie pour tout entier 𝑛 ?

2) Bilan :

Soit 𝑃(𝑛) une propriété dépendant de l’entier naturel 𝑛.

On suppose que l’on a les assertions suivantes :

• 𝑃(0) est vraie (INITIALISATION)

• ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑃(𝑛) vraie implique 𝑃(𝑛 + 1) vraie (HEREDITE)

Alors 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier naturel 𝑛.

L’initialisation n’est pas forcément

en 𝑛 = 0.

Hérédité :

Sachant que l’on est sur une marche quelconque, on sait franchir la suivante.

Etape initiale : On sait franchir la première marche

AXIOME DE RECURRENCE

• AUTRE EXEMPLE :

On considère la suite (𝑢_𝑛) définie sur ℕ par 𝑢_𝑛 = 4^𝑛 − 1, c’est-à-dire la séquence de nombres suivants : {0 ; 3 ; 15 ; 63 ; 255 ; 1 023 ; 4 095 ; … }

La démonstration de ce résultat repose sur un type de raisonnement appelé

« raisonnement par récurrence ».

REMARQUE : (ce sera la conclusion à écrire à chaque raisonnement par récurrence…) Soit 𝑛₀ ∈ ℕ. Si 𝑃(𝑛₀) est vraie et si, pour tout 𝑛 ≥ 𝑛₀, 𝑃(𝑛) vraie implique 𝑃(𝑛 + 1) vraie alors 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier naturel 𝑛 supérieur ou égal à 𝑛₀.

3) Démontrer par récurrence :

Soit 𝑛 ∈ ℕ. On pose 𝑃(𝑛) la propriété « 4^𝑛 − 1 est multiple de 3 » ou encore « 4^𝑛− 1 = 3 × 𝑘 où 𝑘 ∈ ℕ » .

Démontrons, par récurrence, que la propriété 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier naturel 𝑛.

• INITIALISATION :

4⁰− 1 = 1 − 1 = 0. Or 0 = 3 × 0.

Donc 4⁰− 1 est bien un multiple de 3. 𝑃(0) est donc vraie.

• HEREDITE :

Soit 𝒏 un entier quelconque et fixé tel que 𝑃(𝑛) ∶ 4^𝑛− 1 = 3 × 𝑘 où 𝑘 ∈ ℕ ou encore 4^𝑛 = 3𝑘 + 1 (c’est l’hypothèse de récurrence) Montrons que 𝑷(𝒏 + 𝟏) est vraie soit 𝟒^𝒏+𝟏 = 𝟑𝒌′ + 𝟏 où 𝒌^′∈ ℕ ?

On a alors 4^𝑛+1 = 4^𝑛 × 4¹

4^𝑛+1 = (3𝑘 + 1) × 4 (d’après l’hypothèse de récurrence) 4^𝑛+1 = 12𝑘 + 3 + 1

4^𝑛+1 = 3(4𝑘 + 1) + 1

Soit 4^𝑛+1 = 3 × 𝑘^′+ 1 où 𝑘′ ∈ ℕ puisque 𝑘^′= 4𝑘 + 1 Donc 𝑃(𝑛 + 1) est vraie

On peut alors remarquer que tous ces nombres sont des multiples de 3.

Se pose alors légitimement la question :

« Pour tout entier naturel 𝑛, 4^𝑛− 1 est-il bien un multiple de 3 ? » On peut conjecturer que « oui » mais il reste à le démontrer.

Un entier 𝑁 est dit multiple de 3 s’il existe un entier 𝑘 tel que 𝑁 = 3 × 𝑘

• CONCLUSION : 𝑃(0) est vraie et pour tout 𝑛 entier naturel, on a montré que, si 𝑃(𝑛) est vraie, alors 𝑃(𝑛 + 1) l’est aussi.

Donc, pour tout 𝑛 entier naturel, 4^𝑛 − 1 est un multiple de 3.

Soit la propriété 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier naturel 𝑛.

EXERCICES : A rédiger très soigneusement…

• Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout 𝑛 ∈ ℕ :

∑ 𝑘 = 0 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) 2

𝑘=𝑛

𝑘=0

• Soit 𝑛 un entier naturel. Comparer 2^𝑛 et 𝑛². Emettre une conjecture sur l’ordre de ces deux entiers, puis la démontrer.

• Démontrer l’inégalité de Bernoulli : démontrer, pour 𝑛 entier, 𝑛 ≥ 0, la propriété 𝐵(𝑛) suivante :

Pour tout nombre réel 𝑥 > 0, on a (1 + 𝑥)^𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥.

II) Comportement d’une suite numérique :

Par « comportement de la suite (𝑢_𝑛) » on sous-entend étudier les propriétés du nombre 𝑢_𝑛 lorsque 𝑛 devient de plus en plus grand (variations, encadrement, comportement à l’infini…).

Soit (𝑢_𝑛) une suite de nombres réels définie sur ℕ.

1) Suites majorées, minorées, bornées (rappels de 1^ère) :

EXERCICE :

Soit (𝑢_𝑛) la suite définie sur ℕ par 𝑢₀ = 0 et 𝑢_𝑛+1 = √𝑢_𝑛+ 1

1) Observer la représentation graphique de cette suite et conjecturer le plus précisément possible 𝑎 et 𝑏, deux entiers tels que 𝑎 ≤ 𝑢_𝑛 ≤ 𝑏.

Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

Soit 𝑀 et 𝑚 deux nombres réels. On dit que la suite (𝑢_𝑛) est :

• majorée par 𝑀 si, ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 ≤ 𝑀 ;

• minorée par 𝑚 si, ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢_𝑛 ≥ 𝑚 ;

• bornée si, ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑚 ≤ 𝑢_𝑛 ≤ 𝑀 . DEFINITION

EXEMPLES :

• Soit la suite (¹

𝑛)

𝑛≥1. 𝑢₁ = 1 ; 𝑢₂ =1

2 ; 𝑢₃ = 1 3 ; …

∀n ∈ ℕ^∗,1 𝑛 > 0.

Cette suite est minorée par 0, mais elle est également minorée par tout réel négatif ! Un minorant n’est donc pas unique !

• Soit la suite (𝑛²)_𝑛≥0. 𝑢₀ = 0 ; 𝑢₁ = 1 ; 𝑢₂ = 4 ; …

∀n ∈ ℕ, 𝑛² ≥ 0.

Cette suite est également minorée par 0 qui est en plus, le minimum de la suite car est atteint au rang 0.

2) Limite finie d’une suite :

REMARQUES :

→ On dit aussi :

• 𝑢_𝑛 tend vers 𝑙 quand 𝑛 tend vers +∞

• (𝑢_𝑛) converge vers le réel 𝑙

• (𝑢_𝑛) est convergente

→ Dire qu’une suite a pour limite 𝑙 revient aussi à dire que son terme général 𝑢_𝑛 est aussi proche de 𝑙 que l’on veut à partir d’un certain rang.

3) Limite infinie d’une suite :

La suite (𝑢_𝑛) admet pour limite le réel 𝑙 si, tout intervalle ouvert contenant 𝑙 contient toutes les valeurs 𝑢𝑛 à partir d’un certain rang.

On écrit alors ∶ lim

𝑛→+∞𝑢_𝑛= 𝑙

Si une suite (𝑢_𝑛) a pour limite un nombre réel 𝑙, alors cette limite est unique.

DEFINITION

Soit 𝐴 ∈ ℝ.

Si tout intervalle de la forme ] 𝐴 ; +∞ [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, on dit que la suite (𝑢_𝑛) a pour limite +∞.

On écrit alors ∶ 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒖_𝒏= +∞.

Si tout intervalle de la forme ]−∞ ; 𝐴 [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, on dit que la suite (𝑢_𝑛) a pour limite −∞.

On écrit alors ∶ 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒖_𝒏= −∞.

DEFINITION

On dit aussi :

• 𝑢_𝑛 tend vers +∞ (ou −∞) quand 𝑛 tend vers +∞

ou

• (𝑢_𝑛) diverge vers +∞ (ou −∞) ou

• (𝑢_𝑛) est divergente

REMARQUE :

Une suite peut ne pas admettre de limite.

Par exemple, la suite définie pout tout entier naturel 𝑛 par 𝑢_𝑛 = (−1)^𝑛

prend alternativement les valeurs −1 et 1.

Elle n'admet pas de limite et on dit également qu’elle diverge.

III) Limites et opérations sur les limites de suites :

1) Limites des suites usuelles :

∗ lim

𝑛→+∞𝑛 =+∞ ∗ lim

𝑛→+∞𝑛² =+∞ ∗ lim

𝑛→+∞√𝑛 =+∞

∗ lim

𝑛→+∞

1

𝑛 =0 ∗ lim

𝑛→+∞

1

𝑛²= 0 ∗ lim

𝑛→+∞

1

√𝑛= 0 Pour tout entier 𝑘 ≥ 1 ∶ ∗ lim

𝑛→+∞𝑛^𝑘 =+∞ ∗ lim

𝑛→+∞

1

𝑛^𝑘 =0

2) Opérations sur les limites de suites :

Soit deux suites (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) admettant une limite finie ou infinie et 𝑙 et 𝑙′, deux réels.

a. Limite d’une somme :

𝑙 +∞ −∞

𝑙^′ 𝑙 + 𝑙^′ +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ Pas de résultat

général

−∞ −∞ Pas de résultat

général −∞

𝑛→+∞lim 𝑢_𝑛

𝑛→+∞lim 𝑣𝑛

EXEMPLE :

Soit la suite (𝑢_𝑛) définie pour tout entier 𝑛 ≥ 1 par 𝑢_𝑛 = 1 + ¹

𝑛 𝑛→+∞lim

1

𝑛 = 0 donc lim

𝑛→+∞(1 +1 𝑛) = 1

b. Limite d’un produit :

𝑙 ≠ 0 0 +∞ −∞

𝑙^′ ≠ 0 𝑙 × 𝑙^′ 0 +∞ si 𝑙^′> 0

−∞ si 𝑙^′< 0

+∞ si 𝑙^′< 0

−∞ si 𝑙^′> 0

0 0 0 Pas de résultat général

+∞ +∞ si 𝑙 > 0

−∞ si 𝑙 < 0

Pas de résultat

général +∞ −∞

−∞ +∞ si 𝑙 < 0

−∞ si 𝑙 > 0

Pas de résultat

général −∞ +∞

EXEMPLE :

Soit (𝑣_𝑛) la suite définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑣_𝑛 = 𝑛² − 𝑛.

𝑛→+∞lim 𝑛² = +∞

𝑛→+∞lim 𝑛 = +∞ d^′où lim

𝑛→+∞−𝑛 = −∞

Par somme, on n’a pas de résultat général.

𝑛² − 𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)

𝑛→+∞lim 𝑛 = +∞

𝑛→+∞lim (𝑛 − 1) = +∞

Par produit ∶ lim

𝑛→+∞𝑢_𝑛 = +∞

c. Limite d’un quotient :

𝑙 ≠ 0 0 +∞ −∞

𝑙^′≠ 0 𝑙

𝑙′ 0 +∞ si 𝑙^′ > 0

−∞ si 𝑙^′ < 0

+∞ si 𝑙^′ < 0

−∞ si 𝑙^′ > 0 0 ±∞ en fonction du

signe de 𝑣_𝑛

Pas de résultat

général ±∞ en fonction du signe de 𝑣_𝑛 +∞ +∞ si 𝑙 > 0

−∞ si 𝑙 < 0 0 Pas de résultat

général

Pas de résultat général

−∞ +∞ si 𝑙 < 0

−∞ si 𝑙 > 0 0 Pas de résultat

général

Pas de résultat général

EXEMPLE :

Soit (𝑤_𝑛) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛, par 𝑤_𝑛 = ¹ 𝑛²+1

𝑛→+∞lim 𝑛² = +∞ d^′où lim

𝑛→+∞(𝑛² + 1) = +∞ donc lim

𝑛→+∞( 1

𝑛² + 1) = 0

𝑛→+∞lim 𝑢_𝑛

𝑛→+∞lim 𝑣𝑛

𝑛→+∞lim 𝑢_𝑛

𝑛→+∞lim 𝑣_𝑛

REMARQUES :

Lorsque le tableau ne donne pas de résultat général, on parle de « forme indéterminée ».

Les formes indéterminées sont de 4 types exprimés sous forme abrégée par : +∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; 0

0 ; ∞

∞ Ces notations incorrectes sont à proscrire dans un devoir rédigé !

Alors que fait-on avec les formes indéterminées ?

• Soit (𝑢_𝑛) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢_𝑛 = 3𝑛² − 𝑛 − 5.

• lim

𝑛→+∞𝑛² = +∞ d^′où lim

𝑛→+∞3𝑛² = +∞

• lim

𝑛→+∞𝑛 = +∞ d^′où lim

𝑛→+∞− 𝑛 = −∞

On factorise par le terme prépondérant :

∀𝑛 ∈ ℕ^∗, 𝑢_𝑛 = 𝑛² (3 −1 𝑛− 5

𝑛²)

• Soit (𝑣_𝑛) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑣_𝑛 = ^3𝑛+5

−2𝑛+7

𝑛→+∞lim 𝑛 = +∞ d^′où lim

𝑛→+∞− 2𝑛 = −∞ et lim

𝑛→+∞(−2𝑛 + 7) = −∞

𝑛→+∞lim 3 𝑛 = +∞ d^′où lim

𝑛→+∞(3𝑛 + 5) = +∞

Par quotient, on a une forme indéterminée.

On factorise numérateur et dénominateur par les termes prépondérants !

∀𝑛 ∈ ℕ^∗, 𝑣_𝑛 = 𝑛 (3 +5 𝑛) 𝑛 (−2 +7 𝑛)

= 3 +5 𝑛

−2 +7 𝑛

𝑛→+∞lim 5

𝑛 =0 d^′où lim

𝑛→+∞(3 +5 𝑛) =3 lim 7

=0 d^′où lim (−2 +7

) = −2

Donc, par quotient des limites :

𝑛→+∞lim 𝑣_𝑛 = −3 2

𝑛→+∞lim 1

𝑛 =0 d^′où lim

𝑛→+∞−1 𝑛= 0

𝑛→+∞lim 𝑛² =+∞ d^′où lim

𝑛→+∞− 5 𝑛² = 0

Ainsi , par somme des limites, lim

𝑛→+∞(3 −1 𝑛− 5

𝑛²) = 3 Donc , par produit des limites,

𝑛→+∞lim (𝑛²(3 −1 𝑛− 5

𝑛²)) = +∞

Par somme, on a

une forme indéterminée.

EXERCICES :

Déterminer, dans chaque cas, la limite des suites définies sur ℕ par : 𝑢_𝑛 = 5 − 2𝑛 ; 𝑣_𝑛 = 6𝑛²− 𝑛 − 1 ; 𝑤_𝑛 = 1 − 𝑛

1 + 𝑛 𝑧_𝑛 =−2𝑛²+ 4𝑛 − 5

𝑛²+ 6𝑛 + 9 ; 𝑡_𝑛 = 𝑛 + 5 3𝑛² − 2𝑛 + 3

IV) Propriétés sur les limites des suites :

1) Limites et comparaison :

Remarque :

On peut dire aussi que la suite (𝑢_𝑛) est majorée par le nombre 𝑙.

EXERCICES :

1) (𝑢_𝑛) est la suite définie sur ℕ par 𝑢_𝑛 = 𝑒^𝑛.

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑒^𝑛 ≥ 𝑛 + 1.

b) En déduire que la suite (𝑢_𝑛) diverge vers +∞.

2) (𝑣_𝑛) est la suite définie par 𝑣₀ = −1 et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣_𝑛+1 = −𝑣_𝑛 ²− 𝑛 − 1.

a) Démontrer que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣_𝑛 ≤ −𝑛.

b) En déduire que la suite (𝑣_𝑛) diverge.

Soit (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) deux suites vérifiant les conditions suivantes :

∗ A partir d^′un certain rang, on a 𝑣_𝑛≥ 𝑢_𝑛 ∗ lim

𝑛→+∞𝑢_𝑛= +∞

Alors 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒗_𝒏= +∞

THEOREME DE MAJORATION

+ démonstration*

Soit (𝑢_𝑛) et (𝑣_𝑛) deux suites vérifiant les conditions suivantes :

∗ A partir d^′un certain rang, on a 𝑣_𝑛≥ 𝑢_𝑛 ∗ lim

𝑛→+∞𝑣_𝑛 = −∞

Alors 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒖_𝒏= −∞

THEOREME DE MINORATION

La démonstration est analogue à la précédente.

Soit 𝑙 ∈ ℝ et (𝑢_𝑛) , (𝑣_𝑛) et (𝑤_𝑛) trois suites vérifiant les deux conditions suivantes :

∗ A partir d^′un certain rang, on a 𝑢_𝑛≤ 𝑣_𝑛≤ 𝑤_𝑛 ∗ lim

𝑛→+∞𝑢_𝑛= 𝑙 et lim

𝑛→+∞𝑤_𝑛= 𝑙 Alors 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒗_𝒏 = 𝒍

THEOREME (admis) dit THEOREME DES GENDARMES

Soit 𝑙 ∈ ℝ et (𝑢_𝑛) une suite croissante.

Si lim

𝑛→+∞𝑢_𝑛= 𝑙 alors tous les termes de la suite (𝑢_𝑛) sont inférieurs ou égaux à 𝑙.

THEOREME

+ démonstration*

2) Convergence monotone :

3) Comportement de « 𝒒^𝒏 », 𝒒 ∈ ℝ :

REMARQUE :

Pour 𝑞 = 1, la suite est constante et égale à 1(donc convergente !).

Pour 𝑞 = −1, la suite (𝑞^𝑛) prend périodiquement les valeurs 1 et −1, suivant la parité de 𝑛.

EXEMPLE :

Étudier la limite à l’infini de 3^𝑛 − 4^𝑛 :

On a, directement, une forme indéterminée.

Cependant, soit 𝑛 ∈ ℕ :

3^𝑛− 4^𝑛 = 4^𝑛(3^𝑛

4^𝑛− 1) = 4^𝑛((3 4)

𝑛

− 1)

𝑛→+∞lim 4^𝑛 =+∞ car 𝟒 > 𝟏 et lim

𝑛→+∞(3 4)

𝑛

= 0 car − 1 <3 4< 1.

D𝑜nc par somme des limites, on a lim

𝑛→+∞((3 4)

𝑛

− 1) = −1 Puis, on en déduit par produit des limites que lim

𝑛→+∞(3^𝑛− 4^𝑛) =−∞.

• Toute suite croissante et majorée admet une limite finie.

• Toute suite décroissante et minorée admet une limite finie.

• Toute suite croissante et non majorée a pour limite +∞.

• Toute suite décroissante et non minorée a pour limite −∞.

THEOREME

Soit 𝑞 ∈ ℝ. On a les résultats suivants :

∗ si − 1 < 𝑞 < 1, alors lim

𝑛→+∞𝑞^𝑛= 0

∗ si 𝑞 > 1, alors lim

𝑛→+∞𝑞^𝑛= +∞

∗ si 𝑞 < −1, alors la suite(𝑞^𝑛)_𝑛≥0 n^′admet pas de limite, finie ou infinie.

THEOREME

+ démonstration*

+ démonstration*