Suites et limites

Suites et limites

I) Un raisonnement « récurrent » :

1) A partir d’un exemple :

• Exemple 1

Abonnements à « PARIS MATHS »

Un éditeur veut faire paraître un nouveau magazine mensuel intitulé « PARIS MATHS », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lors que

le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3 000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8 000 la première année, que le taux de réabonnement serait de 80 % et que, chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.

n étant un entier naturel, on note, dans cette activité, ^an le nombre d’abonnés à l’année n . On suppose que a₁=8 000 .

A. Point de vue éditorial :

A l’aide d’un tableur, déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de ^an et en colonne C, le résultat arrondi à l’entier près de la colonne B.

Rappel : En colonne C, penser à utiliser la fonction : « =ARRONDI(nombre ; n° chiffre) »

1) Représenter graphiquement, à l’aide du tableur, le nombre d’abonnés en fonction de l’année, sur 5, 10, 15, 20, 25, 30, 40 et 50 années.

2) Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.

3) Le magazine semble-t-il pérenne dans le temps ?

B. Point de vue mathématique :

Dans cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 1.

1) Expliciter une relation entre ^an+1 et ^an .

2) On définit, pour tout n∈N^¿ , la suite

(

^bn

)

par : b_n=a_n−3 000

Montrer que la suite

(

^bn

)

est géométrique, puis déterminer les éléments caractéristiques de cette suite, ainsi qu’une formule explicite de ^bn .

3) En déduire, pour tout n∈N^¿ , a_n en fonction de n .

4) Justifier que la suite

(

^an

)

est strictement décroissante et qu’elle est minorée par 3 000.

5) a) Montrer que a_n=3 000 si, et seulement si, a_n+1=3 000 . b) La suite

(

^an

)

peut-elle atteindre la valeur de 3 000 ?

c) Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autant a_n=3 000 , à partir d’un certain rang ?

6) Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine « PARIS MATHS ».

• Exemple 2

Démontrer « Pour tout »

On considère la suite numérique

(

^un

)

définie, pour tout entier naturel n , par :

{

^{un+1=uu0n=1+2n−1}

1) Calculer les trois premiers termes de la suite

(

^un

)

. 2) On utilise un tableur pour obtenir ^u0,u₁ jusqu’à ^u11 .

a) Quelle formule, à étirer vers le bas jusqu’en cellule B13, peut- on écrire en cellule B3 ?

b) Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal (O ;i ;⃗ ⃗j) l’ensemble des points de coordonnées

(

^{n ; u}n

)

pour n entier compris entre 0 et 11.

c) Conjecturer l’expression de u_n en fonction de n .

d) A l’aide du tableur, vérifier que la conjecture est toujours exacte avec de grandes valeurs de l’entier n (par exemple n=100;557;1 284… ).

3) Pour tout entier naturel n , on définit la propriété P(n) par : u_n=(n−1)² . a) Qu’est-ce que l’étude précédente sur tableur, laisse à penser de la propriété P ? b) Démontrer que la propriété P(n) est héréditaire, c’est-à-dire que, pour tout

n entier naturel fixé : P(n) est vraie implique que P(n+1) est vraie.

c) Peut-on, à partir de cette propriété d’hérédité, en déduire que la propriété P(n)

est vraie, pour tout n entier naturel ?

4) On remplace le contenu de la cellule B2 par la valeur u₀=2 .

a) Effectuer le changement sur la feuille de calcul et écrire en face, dans la colonne C les termes de la séquence « (n−1)² », pour n entier naturel compris entre 0 et 11.

b) Conjecture-t-on toujours que, pour tout n∈N , P(n) est vraie ? c) Démontrer que la propriété P(n) est, pour autant, toujours héréditaire.

5) Soit Q(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n .

a) Expliquer pourquoi le seul fait de savoir que la propriété Q est héréditaire ne peut pas permettre de justifier que cette propriété Q est vraie pour tout entier naturel n .

b) Que faudrait-il savoir au moins en plus pour décider que Q est vraie pour tout entier n ?

2) Bilan :

• AUTRE EXEMPLE :

On considère la suite

(

^un

)

définie sur N par un=4ⁿ−1 , c’est-à-dire la séquence de nombres suivants : {0;3;15;63;255;1 023;4 095;…}

La

démonstration de ce résultat repose sur un type de raisonnement appelé « raisonnement par récurrence ».

REMARQUE : (ce sera la conclusion à écrire à chaque raisonnement par récurrence…)

Soit ⁿ0∈N . Si P(n₀) est vraie et si, pour tout ^{n ≥ n}0 , P(n) vraie implique P(n+1) vraie alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n₀ .

3) Démontrer par récurrence :

Soit n∈N . On pose P(n) la propriété « 4ⁿ−1 est multiple de 3 » ou encore « 4ⁿ−1=3× k où k∈N » .

Démontrons, par récurrence, que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n .

AXIOME DE RECURRENCE

Soit P(n) une propriété dépendant de l’entier naturel n . On suppose que l’on a les assertions suivantes :

 P(0) est vraie (INITIALISATION)

 ∀n∈N , P(n) vraie implique P(n+1) vraie (HEREDITE)

Alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n .

Etape initiale :

On sait franchir la première marche

Hérédité :

Sachant que l’on est sur une marche quelconque, on sait franchir la suivante.

L’initialisation n’est pas forcément en

n=0 ^.

Un entier N est dit multiple de 3 s’il existe un entier k ^{tel que} On peut alors remarquer que tous ces nombres sont des multiples de 3.

Se pose alors légitimement la question :

« Pour tout entier naturel n , 4ⁿ−1 est-il bien un multiple de 3 ? » On peut conjecturer que « oui » mais il reste à le démontrer.

 INITIALISATION :

4⁰−1=1−1=0 . Or 0=3×0 .

Donc ₄⁰₋₁ est bien un multiple de 3. P(0) est donc vraie.

 HEREDITE :

Soit n un entier quelconque et fixé tel que P(n): 4ⁿ−1=3× k où k∈N ou encore 4ⁿ=3k+1 (c’est l’hypothèse de récurrence) Montrons que P(n+1) est vraie soit 4ⁿ⁺¹=3k '+1 où k^'∈N ?

On a alors 4ⁿ⁺¹=4ⁿ×4¹

4ⁿ⁺¹=(3k+1)×4 (d’après l’hypothèse de récurrence) 4ⁿ⁺¹=12k+3+1

4ⁿ⁺¹=3(4k+1)+1

Soit 4ⁿ⁺¹=3× k^'+1 où k '∈N puisque k^'=4k+1 Donc P(n+1) est vraie

 CONCLUSION : P(0) est vraie et pour tout n entier naturel, on a montré que, si P(n) est vraie, alors P(n+1) l’est aussi.

Donc, pour tout n entier naturel, ₄ⁿ₋₁ est un multiple de 3.

Soit la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n .

EXERCICES : A rédiger très soigneusement…

• Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout n∈N :

∑

k=0 k=n

k=0+…+n=n(n+1) 2

• Soit n un entier naturel. Comparer ₂ⁿ et _n² . Emettre une conjecture sur l’ordre de ces deux entiers, puis la démontrer.

• Démontrer l’inégalité de Bernoulli : démontrer, pour n entier, n ≥0 , la propriété B(n) suivante :

Pour tout nombre réel x>0 , on a (1+x)ⁿ≥1+nx . II) Comportement d’une suite numérique :

Par « comportement de la suite

(

^un

)

» on sous-entend étudier les propriétés du nombre u_n lorsque n devient de plus en plus grand (variations, encadrement, comportement à l’infini…).

Soit

(

^un

)

une suite de nombres réels définie sur N .

1) Suites majorées, minorées, bornées (rappels de 1^ère ) :

EXERCICE :

Soit

(

^un

)

la suite définie sur N par u₀=0 et u_n+1=

√

^un+1

1) Observer la représentation graphique de cette suite et conjecturer le plus précisément possible a et b , deux entiers tels que ^{a ≤ u}n≤ b .

Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

EXEMPLES :

 Soit la suite

(

¹n

)

n ≥1 . u₁=1;u₂=1

2;u₃=1 3;…

∀n∈N^¿,1 n>0.

Cette suite est minorée par 0, mais elle est également minorée par tout réel négatif ! Un minorant n’est donc pas unique !

 Soit la suite (n²)_{n ≥0} . u₀=0;u₁=1;u₂=4;…

∀n∈N , n²≥0.

Cette suite est également minorée par 0 qui est en plus, le minimum de la suite car est atteint au rang 0.

2) Limite finie d’une suite : DEFINITION

Soit M et m deux nombres réels. On dit que la suite

(

^un

)

est :

 majorée par M si, ∀n∈N , ^un≤ M ;

 minorée par m si, ∀n∈N , u_n≥m ;

 bornée si, ∀n∈N , ^{m≤ u}n≤ M .

La suite

(

^un

)

admet pour limite le réel l si, tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang.

Onécrit alors: lim

n →+∞u_n=l

Si une suite

(

^un

)

a pour limite un nombre réel l , alors cette limite est unique.

DEFINITION

REMARQUES :

→ On dit aussi :

• u_n tend vers l quand n tend vers +∞

•

(

^un

)

converge vers le réel l

•

(

^un

)

est convergente

→ Dire qu’une suite a pour limite l revient aussi à dire que son terme général u_n est aussi proche de l que l’on veut à partir d’un certain rang.

3) Limite infinie d’une suite :

On dit aussi :

 ^un tend vers +∞ (ou −∞ ) quand n tend vers +∞

ou



(

^un

)

diverge vers +∞ (ou

−∞ ) ou



(

^un

)

est divergente

REMARQUE :

Une suite peut ne pas admettre de limite.

Par exemple, la suite définie pout tout entier naturel n par u_n=(−1)ⁿ prend alternativement les valeurs

−1et1.

Elle n'admet pas de limite et on dit également qu’elle diverge.

III) Limites et opérations sur les limites de suites : DEFINITIO

NSoit A∈R .

Si tout intervalle de la forme ¿

¿A ;+∞¿ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, on dit que la suite

(

^un

)

a pour limite +∞ .

Onécrit alors: lim

n →+∞u_n=+∞.

Si tout intervalle de la forme ¿

¿−∞; A¿ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, on dit que la suite

(

^un

)

a pour limite −∞ .

1) Limites des suites usuelles :

¿ lim

n →+∞n=+∞ ¿ lim

n →+∞n²=+∞ ¿ lim

n →+∞

√

^n=+∞

¿ lim

n →+∞

1

n=0 ¿ lim

n →+∞

1

n²=0 ¿ lim

n →+∞

1

√

ⁿ⁼⁰

Pour tout entier k ≥1 :∗lim

n →+∞n^k=+∞∗lim

n →+∞

1 n^k=0 2) Opérations sur les limites de suites :

Soit deux suites

(

^un

)

et

(

^vn

)

admettant une limite finie ou infinie et l et l' , deux réels.

a. Limite d’une somme :

l +∞ −∞

l^' l+l^{' +∞ −∞}

+∞ +∞ +∞ Pas de résultat

général

−∞ −∞ Pas de résultat

général ^−∞

EXEMPLE :

Soit la suite

(

^un

)

définie pour tout entier n ≥1 par u_n=1+¿ 1 n lim

n →+∞

1

n=0donc lim

n →+∞

(

¹⁺¹n

)

⁼¹

b. Limite d’un produit :

l≠0 0 +∞ −∞

l^'≠0 l× l^{' 0 +∞ si l}

'>0

−∞ si l^'<0

+∞ si l^'<0

−∞ si l^'>0

0 0 0 Pas de résultat général

+∞ +∞ si l>0

−∞ si l<0

Pas de résultat

général ^{+∞ −∞}

−∞ +∞ si l<0

−∞ si l>0

Pas de résultat

général ^{−∞ +∞}

EXEMPLE : lim

n →+∞u_n

n →+∞lim v_n

lim

n →+∞u_n lim

n →+∞v_n

Soit

(

^vn

)

la suite définie pour tout n∈N par ^vn=n²−n . lim

n →+∞n²=+∞

n →+∞lim n=+∞ d^'où lim

n →+∞−n=−∞

Par somme, on n’a pas de résultat général.

n²−n=n(n−1)

n →+∞lim n=+∞

lim

n →+∞(n−1)=+∞

Par produit: lim

n →+∞u_n=+∞

c. Limite d’un quotient :

l≠0 0 +∞ −∞

l^'≠0 l

l ' ⁰

+∞ si l^'>0

−∞ si l^'<0

+∞ si l^'<0

−∞ si l^'>0 0 ± ∞ en fonction

du signe de v_n Pas de résultat

général ^{± ∞} en fonction du signe de ^vn

+∞ +∞ si l>0

−∞ si l<0 0 Pas de résultat général

Pas de résultat général

−∞ +∞ si l<0

−∞ si l>0 0 Pas de résultat général

Pas de résultat général

EXEMPLE :

Soit

(

^wn

)

la suite définie pour tout entier naturel n , par w_n=¿ 1 n²+1 lim

n →+∞n²=+∞ d^'où lim

n →+∞(n²+1)=+∞ donc lim

n →+∞

(

n²¹+1

)

⁼⁰

REMARQUES :

Lorsque le tableau ne donne pas de résultat général, on parle de « forme indéterminée ».

Les formes indéterminées sont de 4 types exprimés sous forme abrégée par : +∞−∞;0× ∞;0

0;∞

∞

Ces notations incorrectes sont à proscrire dans un devoir rédigé ! Alors que fait-on avec les formes indéterminées ?

 Soit

(

^un

)

la suite définie pour tout entier naturel n par ^un=3n²−n−5 .

 lim

n →+∞n²=+∞ d^'où lim

n →+∞3n²=+∞

 lim

n →+∞n=+∞ d^'où lim

n →+∞−n=−∞

On factorise par le terme prépondérant : lim

n →+∞u_n lim

n →+∞v_n

Par somme, on a

une forme indéterminée.

∀n∈N^¿, u_n=n²

(

³⁻¹n− 5 n²

)

lim

n →+∞

1

n=0d^'où lim

n →+∞−1

n =0

lim

n →+∞n²=+∞ d^'où lim

n →+∞−5 n² =0

Ainsi , par somme des limites , lim

n →+∞

(

³⁻¹n− 5 n²

)

⁼³

Donc , par produit des limites , lim

n →+∞

(

ⁿ²

⁽

^3−1n−n52

⁾ )

^=+∞

 Soit

(

^vn

)

la suite définie pour tout entier naturel ⁿ par ^vn=¿

3n+5

−2n+7

n →+∞lim n=+∞ d^'où lim

n →+∞−2n=−∞et lim

n →+∞(−2n+7)=−∞

n →+∞lim 3n=+∞ d^'où lim

n →+∞(3n+5)=+∞

Par quotient, on a une forme indéterminée.

On factorise numérateur et dénominateur par les termes prépondérants !

∀n∈N^¿, v_n=

n

(

³⁺⁵n

)

n

(

⁻²⁺⁷n

)

⁼

3+5 n

−2+7 n

lim

n →+∞

5

n=0d^'où lim

n →+∞

(

³⁺⁵n

)

⁼³

lim

n →+∞

7

n=0d^'où lim

n →+∞

(

⁻²⁺⁷n

)

⁼⁻²

Donc, par quotient des limites : lim

n →+∞v_n=−3 2 EXERCICES :

Déterminer, dans chaque cas, la limite des suites définies sur N par : u_n=5−2n ;v_n=6n²−n−1; w_n=1−n

1+n zn=−2n²+4n−5

n²+6n+9 ;tn= n+5 3n²−2n+3 IV) Propriétés sur les limites des suites :

1) Limites et comparaison :

THEOREME DE MAJORATION

Soit

(

^un

)

^et

(

^vn

)

deux suites vérifiant les conditions suivantes :

¿A partir d^'un certain rang , on a v_n≥u_n∗lim u_n=+∞

Remarque :

On peut dire aussi que la suite

(

^un

)

est majorée par le nombre l .

EXERCICES :

1) (u_n) est la suite définie sur par ℕ u_n=eⁿ .

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , eⁿ≥ n+1 . b) En déduire que la suite (u_n) diverge vers +∞ .

2) (v_n) est la suite définie par v₀=−1 et pour tout entier naturel n , vn+1=−vn2

−n−1.

a) Démontrer que pour tout entier naturel n , v_n≤−n . b) En déduire que la suite (v_n) diverge.

2) Convergence monotone :

3) Comportement de « _qⁿ », q∈R :

+ démonstration*

THEOREME DE MINORATION

Soit

(

^un

)

et

(

^vn

)

deux suites vérifiant les conditions suivantes :

¿A partir d^'un certain rang , on a vn≥un∗lim

n →+∞vn=−∞

Alors lim

n →+∞u_n=−∞ La démonstration est analogue à

la précédente.

THEOREME

Soit l∈R et

(

^un

)

une suite croissante.

Si lim

n →+∞u_n=l alors tous les termes de la suite

(

^un

)

sont inférieurs ou égaux à l .

+ démonstration*

Soit l∈R et

(

^un

)

^,

(

^vn

)

^et

(

^wn

)

trois suites vérifiant les deux conditions suivantes :

¿A partir d^'un certain rang , on a u_n≤ v_n≤ w_n∗lim

n →+∞u_n=l et lim

n →+∞w_n=l Alors lim

n →+∞v_n=l

THEOREME (admis) dit THEOREME DES GENDARMES

THEOREME

 Toute suite croissante et majorée admet une limite finie.

 Toute suite décroissante et minorée admet une limite finie.

 Toute suite croissante et non majorée a pour limite +∞ .

 Toute suite décroissante et non minorée a pour limite −∞ . + démonstration*

THEOREME

Soit q∈R . On a les résultats suivants :

¿si−1<q<1,alors lim

n →+∞qⁿ=0

REMARQUE :

Pour q=1 , la suite est constante et égale à 1 (donc convergente !).

Pour q=−1 , la suite

(

qⁿ

)

prend périodiquement les valeurs 1 et −1 , suivant la parité de n .

EXEMPLE :

Étudier la limite à l’infini de ₃ⁿ−4ⁿ :

On a, directement, une forme indéterminée.

Cependant, soit n∈N :

3ⁿ−4ⁿ=4ⁿ

(

³4ⁿⁿ−1

)

⁼⁴ⁿ

( ⁽

³⁴

⁾

ⁿ⁻¹

)

lim

n →+∞4ⁿ=+∞ car4>1et lim

n →+∞

(

³4

)

^n=0car−1<34<1. D o nc par somme des limites , on a lim

n→+∞

( ⁽

³⁴

⁾

ⁿ⁻¹

)

⁼⁻¹

Puis, on en déduit par produit des limitesque lim

n→+∞

(

3ⁿ−4ⁿ

)

=−∞.

+ démonstration*