PanaMaths
[1 - 1]Janvier 2002
Déterminer :
1 1
2 3
lim 2 3
n n
n n
n
+ +
→+∞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ +
Analyse
L’exercice ne présente pas de difficulté particulière dès lors que l’on fait apparaître les termes significatifs du numérateur et du dénominateur.
Résolution
Les termes significatifs du numérateur et du dénominateur sont, respectivement, 3n+1 et 3n. En les mettant en facteur, on obtient :
1 1 1
1 1 1
2 2
3 1 1
2 3 3 3
2 3 2 3 2
3 1 1
3 3
n n n
n n n
n
n n n
n n
+ + + + + +
⎛ + ⎞ ⎛ ⎞ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ = ⎝ ⎠= ⎝ ⎠
+ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ +
Comme 2
3<1, on a le résultat classique (voir le cours sur les suites réelles et l’étude des
suites géométriques) :
2 2 1
lim lim 0
3 3
n n
n n
+
→+∞ →+∞
⎛ ⎞ = ⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
On en déduit alors :
1 1
2 3
lim 3
2 3
n n
n n
n
+ +
→+∞
⎛ + ⎞=
⎜ + ⎟
⎝ ⎠ .
Résultat final
1 1
2 3
lim 3
2 3
n n
n n
n
+ +
→+∞
⎛ + ⎞=
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
