PanaMaths Décembre 2001
Déterminer :
0 2
1 cos lim
xx
→
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
Analyse
Comme nous avons :
lim cos0 cos(0) 1
x x
→ = = , nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type « 0
0 ». L’idée consiste ici, pour lever l’indétermination, à utiliser l’expression conjuguée de 1− cosx, à savoir : 1+ cosx.
Résolution
Nous allons donc considérer la fonction f définie par : 1 cos2
( ) x
f x x
= − .
On a :
( )( )
( ) ( )
2 2 2
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
( )
1 cos 1 cos
x x
x x
f x x x x x x
− +
− −
= = =
+ +
Or : 1 cos 2 sin2 2
x ⎛ ⎞x
− = ⎜ ⎟⎝ ⎠. Il vient donc :
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2 sin 2 sin sin
1 cos 2 2 1 2
( )
1 cos 1 cos 2 1 cos
4 1 cos 2 2
x x x
f x x
x x
x x x x x
x
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟
− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠⎟
= = = =
⎜ ⎟
+ + + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + ⎜⎝ ⎟⎠
Or :
0
sin 2
lim 1
2
x
x x
→
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
et limx→0 2 1
(
1cosx)
14⎛ ⎞
⎜ ⎟ =
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
.
D’où, finalement :
0
lim ( ) 1 4
x f x
→ = .
PanaMaths Décembre 2001
Résultat final
0 2
1 cos 1
limx 4
x
→ x
⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
