PanaMaths Janvier 2002
Déterminer :
lim sin
n
n
n π
→+∞
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
Analyse
On a lim 0
n n
π
→+∞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ et donc lim sin 0
n n
π
→+∞
⎛ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎞
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠ . Nous sommes donc confrontés à une forme indéterminée du type « +∞×0 ». L’indétermination se lève en utilisant une limite de fonction classique.
Résolution
Soit la suite réelle de terme général : un nsin n
⎛ ⎞π
= ⎜ ⎟⎝ ⎠. On peut le récrire :
sin sin
sin 1
n
n n
u n
n
n n
π π
π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⎜ ⎟⎝ ⎠= =
Or, on dispose du résultat classique :
0
lim sin 1
x
x
→ x
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ . On en tire alors :
sin
lim 1
n
n n
π π
→+∞
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
et,
finalement : lim n
n u π
→+∞ = .
Résultat final
lim sin
n n
n
π π
→+∞
⎛ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎞
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
