PanaMaths Décembre 2013
Déterminer :
1 ln 00
lim sin
xxx
→
x
>
Analyse
La présence du sinus ne doit pas perturber outre mesure ! On récrit l’expression
1
sinxlnx sous forme exponentielle et on fait apparaître un rapport dont la limite en 0 est classique …
Résolution
Pour tout x réel de l’intervalle 0 ; 2
⎤ π⎤
⎥ ⎥
⎦ ⎦, on a sinx>0 et ( )
( )
ln sin
1 1
ln sin
ln ln ln
sin
x x
x x x
x =e × =e .
On cherche alors à faire apparaître le rapport sinx x :
( ) ( ) lnsin ln lnsin lnsin
ln sin ln sin ln ln
1
ln ln ln ln ln ln
sin 1
x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x e e e e e e
− + +
= = = = + = ×
Comme
0
limsin 1
x
x
→ x = , on a, grâce à la continuité du logarithme népérien en 1 :
0
lim lnsin ln1 0
x
x
→ x = = .
Par ailleurs, on a classiquement :
0 0
lim ln
x x
→ x
>
= −∞.
Ainsi (division) :
0 0
lnsin
lim 0
ln
x x
x x
→ x
>
= puis, grâce à la continuité de l’exponentielle en 0 :
lnsin
ln 0 0 0
lim 1
x x x x
x
e e
→>
= = .
Finalement (produit) :
lnsin 1
ln ln
0 0
0 0
lim sin lim 1
x x
x x
x x
x x
x e e e e
→ →
> >
= × = × = .
PanaMaths Décembre 2013
Résultat final
1 ln 0 0
lim sin x
x x
x e
→>
=
