PanaMaths Janvier 2002
Déterminer :
00
3 4 2 9
lim
x xx x
→
x
≠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ − +
Analyse
On a : lim 3x→0
(
x+ −4 2 x+9)
=3 4−2 9= × − × =(
3 2) (
2 3)
0. Nous sommes donc confrontés à une indétermination du type « 00 ». Nous pouvons la lever en utilisant l’expression conjuguée de 3 x+ −4 2 x+9 ou en ayant recours à des développements limités.
Résolution
1
èreapproche : utiliser une expression conjuguée
Soit la fonction f définie par : 3 4 2 9
( ) x x
f x x
+ − +
= . L’ensemble de définition, Df, de f est : Df = −
[
2 ; 0[ ]
∪ 0 ;+ ∞[
.Pour x non nul, on a :
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
2 2
3 4 2 9 3 4 2 9
3 4 2 9
( )
3 4 2 9
3 4 2 9 9 4 4 9
3 4 2 9 3 4 2 9
5 5
3 4 2 9 3 4 2 9
x x x x
x x
f x x x x x
x x x x
x x x x x x
x
x x x x x
+ − + + + +
+ − +
= =
+ + +
+ − + + − +
= =
+ + + + + +
= =
+ + + + + +
Il vient alors :
( ) ( ) ( )
0 0
0
5 5 5 5
lim ( ) lim
3 2 2 3 12
3 4 2 9
3 4 2 9
x x
x
f x
x x
→ →
≠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= = = =
⎜ + + + ⎟ + × + ×
⎝ ⎠
PanaMaths Janvier 2002
Finalement :
0 0
3 4 2 9 5
limxx 12
x x
→ x
≠
⎛ + − + ⎞=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
f pourrait donc être prolongée par continuité en ce point en posant : 5 (0) 12
f = .
2
èmeapproche : utiliser des développements limités
On se place sur un voisinage de 0.On a :
( ) ( )
1
2 3
3 4 6 1 6 1 6 1 o 6 o
4 4 8 4
x x x x
x+ = + = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ + + x ⎞⎟⎠= + + x
et :
( ) ( )
1
2 9 6 1 6 1 2 6 1 o 6 o
9 9 18 3
x x x x
x+ = + = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝ + + x ⎞⎟⎠= + + x
D’où :
( ) ( )
( ) ( )
3 4 2 9 6 3 o 6 o
4 3
3 1 4 3 o
5 o
12
x x
x x x x
x x
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − + =⎜⎝ + + ⎟ ⎜⎠ ⎝− + + ⎟⎠
⎛ ⎞
=⎜⎝ − ⎟⎠ +
= +
=
Il vient enfin : 3 4 2 9 5 o 1
( )
12
x x
x
+ − + = +
C’est à dire :
0 0
3 4 2 9 5
limxx 12
x x
→ x
≠
⎛ + − + ⎞=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
On a retrouvé le résultat obtenu précédemment.
Résultat final
0 0
3 4 2 9 5
limxx 12
x x
→ x
≠
⎛ + − + ⎞=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
