Résolution Analyse xx −+ 1lim3 Déterminer :

(1)

PanaMaths Janvier 2002

Déterminer :

2

lim 1

3

x x

+

→+∞

⎛⎛ ⎞ ⎞

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠

+ −

Analyse

Comme 1

lim 1

3

x

→+∞ x

⎛ − ⎞ =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ et ^lim

(

²

)

x x

→+∞ + = +∞, nous sommes confrontés à une forme

indéterminée du type « 1^∞ ». L’exercice se traite en faisant apparaître des expressions dont les limites en +∞ sont connues.

En guise de préambule, on remarquera, avant tout autre calcul, que l’on peut un peut simplifier le problème …

Résolution

Préambule

Soit la fonction f, définie sur

]

^{−∞ − ∪ +∞}^{, 3}

[ ]

^1,

[

^{, par} ^{( )} ¹ ²

3 x x

f x x

− +

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠ .

On peut écrire :

2 2

1 1 1

( ) 3 3 3

x x

x x x

f x x x x

− + − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠ =⎜⎝ + ⎟ ⎜⎠ ⎝ + ⎟⎠ .

Or, on a vu que : 1

lim 1

3

x

→+∞ x

⎛ − ⎞ =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ . On en tire :

1 2

lim 1

3

x

→+∞ x

⎛⎛ − ⎞ =⎞

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ + ⎠ ⎟

⎝ ⎠ . D’où :

lim ( ) lim 1

3

x

x x

f x x

→+∞ →+∞ x

⎛⎛ − ⎞ ⎞

= ⎜⎜⎝⎜⎝ + ⎟⎠ ⎟⎟⎠.

De fait, le « véritable » exercice consiste à déterminer : 1

lim 3

x x

x

→+∞ x

⎛⎛ − ⎞ ⎞

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ + ⎠ ⎟

⎝ ⎠

(2)

PanaMaths Janvier 2002 1

^ère

approche : traiter le numérateur et le dénominateur séparément

On a, pour x>1 :

( )

1 1 1

1 1

3 3 3 3 3

1 1

1

x x x

x x x x

x

x x

x x x

x x

x

⎛ ⎛⎜ − ⎞⎟⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− −

⎛ ⎞ = = ⎝ ⎝ ⎠⎠ = ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ + ⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠

Or, on a le résultat classique (voir cours) : ^*, lim 1

x a x

a a e

→+∞ x

⎛⎛ ⎞ ⎞

∀ ∈\ ⎜⎜⎝⎜⎝ + ⎟⎠ ⎟⎟⎠= . Il vient donc :

1

3 4

lim 1 1

1 1

lim 3 3

lim 1

x

x x

x

x x e

x e e

x

→+∞ −

→+∞

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎛⎛ − ⎞ ⎞= ⎝ ⎠ = =

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ + ⎠ ⎟ ⎛ ⎞

⎝ ⎠ ⎜⎝ + ⎟⎠

Soit finalement : 1₄ lim ( )

x f x

→+∞ =e .

2

^ème

approche : transformer la fraction rationnelle

On a :

(

³

)

⁴ ³ ³

1 4 4 4

1 1 1

3 3 3 3 3

x x x x

x x

x x x x x

+ −

⎛ + − ⎞

⎛ − ⎞ =⎜ ⎟ = −⎛ ⎞ = −⎛ ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Comme : 4

lim 0

3

x^→+∞ x

⎛ ⎞ =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ , il vient

3

4 3

lim 1 1 1

3

x x

−

→+∞

⎛ − ⎞ = =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ .

Par ailleurs, on a :

3

4 4 4

lim 1 lim 1

3

x X

x X e

x X

+

−

→+∞ →+∞

⎛ − ⎞ = ⎛ − ⎞ =

⎜ + ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

On en tire donc : 1 ⁴

lim 3

x x

x e

x

−

→+∞

⎛⎛ − ⎞ =⎞

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ + ⎠ ⎟

⎝ ⎠ .

On retrouve le résultat obtenu précédemment.

(3)

PanaMaths Janvier 2002

Résultat final

3 4

1 1

lim 3

x x

x

x e

+

→+∞

⎛⎛ − ⎞ ⎞=

⎜⎜ ⎟ ⎟

⎜⎝ + ⎠ ⎟

⎝ ⎠