PanaMaths Janvier 2002
Déterminer :
0
lim 1 sin
x x
e
→
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
Analyse
Comme on a lim 1x→0
(
−ex)
= − =1 1 0 et lim sinx→0(
x)
=0, nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type « 00 ». On peut la lever de diverses manières : par exemple, en faisant apparaître des expressions dont les limites sont connues ou en utilisant des équivalents de fonctions.
Résolution
1
èreapproche : utiliser des limites connues
Soit la fonction f définie sur −
{
kπ,k∈}
par ( ) 1sin ex
f x x
= − .
On peut la récrire comme suit : 1
( ) sin
ex x
f x x x
= − − .
Or, on a :
0
lim 1 1
x
x
e
→ x
⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ et
0 0
lim sin lim 1
sin
x x
x x
x x
→ →
⎛ ⎞= ⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
Il vient donc :
( )
0
lim 1 1 1 1
sin
x
x
e x
x x
→
⎛− − ⎞= − × = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Finalement :
0
lim 1 1
sin
x
x
e
→ x
⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
PanaMaths Janvier 2002 2
èmeapproche : utiliser des équivalents de fonctions
On a les équivalents classiques au voisinage de 0 :
x 1
e − ∼x et sinx∼x. On en déduit donc : 1 sin 1
ex x
x x
− ∼ = .
C’est à dire :
0
lim 1 1
sin
x
x
e
→ x
⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ou
0
lim 1 1
sin
x
x
e
→ x
⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Résultat final
0
lim 1 1
sin
x
x
e
→ x
⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
