donc par produit de limites, lim n→+∞n 1 +n12 −n33

TS 8 Interrogation 2A : Correction 15 septembre 2015 Exercice 1 :

D´eterminer la limite des suites ci-dessous :

1. un= 2n²−3n+ 2 2. vn= n³+n−3 3n²−1

Solution:

1. Pourn6= 0,un=n²(2−³n+_n²2).

Or par sommes de limites, 2−n³ +_n²2 tend vers 2. Donc par produit de limites,un tend vers +∞.

2. Pourn6= 0,vn =n³ 1 + _n¹2 −n³³

n² 3−n¹²

=n 1 +_n¹2 −n³³

3−n¹²

Or par sommes de limite 1 +_n¹2 −n³³ tend vers 1 et ntend vers +∞, donc par produit de limites, lim

n→+∞n 1 +_n¹2 −n³³

= +∞. De plus lim

n→+∞ 3−n¹²

= 3 par somme donc quotient, limvn = +∞.

Exercice 2 :

Soitula suite d´efinie parun+1= 3un+ 2 etu0= 0, montrer par r´ecurrence que pour toutn,un>−1.

Solution: Pour tout entier n, on d´efinit P(n) la propri´et´e : un > −1.

D´emontrons par r´ecurrence cette propri´et´e.

InitialisationPour n= 0.

u0= 0>−1, donc la propri´et´e est vraie au rang 0.

H´er´edit´e : Supposons que pour un entier n, P(n) est vraie, montrons alors queP(n+ 1) est vraie.

P(n+ 1) s’´ecrit un+1>−1, orun+1= 3un+ 2.

Selon l’hypoth`ese de r´ecurrence,un>−1 donc 3un+ 2>−3 + 2 =−1 donc un+1>−1.

P(n+ 1) est donc vraie.

Conclusion On a l’initialisation et l’h´er´edit´e, donc P(n) est vraie pour tout entier n.

TS 8 Interrogation 2A : Correction 15 septembre 2015

Exercice 1 :

D´eterminer la limite des suites ci-dessous :

1. un = 2n²−3n+ 2 2. vn= n³+n−3 3n²−1

Solution:

1. Pourn6= 0, un =n²(2−³n+_n²2).

Or par sommes de limites, 2−n³ +_n²2 tend vers 2. Donc par produit de limites,un tend vers +∞.

2. Pourn6= 0, vn= n³ 1 + _n¹2 −n³³

n² 3−n¹²

= n 1 + _n¹2 −n³³

3−n¹²

Or par sommes de limite 1 +_n¹2 −n³³ tend vers 1 et ntend vers +∞, donc par produit de limites, lim

n→+∞n 1 + _n¹2 −n³³

= +∞. De plus lim

n→+∞ 3−n¹²

= 3 par somme donc quotient, limvn= +∞.

Exercice 2 :

Soitula suite d´efinie parun+1= 3un+ 2 etu0= 0, montrer par r´ecurrence que pour toutn,un>−1.

Solution: Pour tout entier n, on d´efinit P(n) la propri´et´e : un > −1.

D´emontrons par r´ecurrence cette propri´et´e.

InitialisationPour n= 0.

u0= 0>−1, donc la propri´et´e est vraie au rang 0.

H´er´edit´e : Supposons que pour un entier n, P(n) est vraie, montrons alors queP(n+ 1) est vraie.

P(n+ 1) s’´ecritun+1 >−1, orun+1= 3un+ 2.

Selon l’hypoth`ese de r´ecurrence,un>−1 donc 3un+ 2>−3 + 2 =−1 donc un+1>−1.

P(n+ 1) est donc vraie.

Conclusion On a l’initialisation et l’h´er´edit´e, donc P(n) est vraie pour tout entier n.