TS7 DS 3 : Correction 21 novembre 2019 Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances (10 minutes) (2 points) 1. ´Ecrire la d´efinition du nombre d´eriv´ee de la fonctionf :x→sin(x) en 0 `a l’aide d’un taux d’accrois-
sement.
2. En d´eduire lim
x→0
sin(x) x . Solution:
1. f0(0) = lim
h→0
sin(h)−sin(0)
h = lim
h→0
sin(h) h . 2. On sait par ailleurs quef0(0) = cos(0) = 1.
On en d´eduit que lim
x→0
sin(x) x = 1
Exercice 2 : Exercices classiques (30 minutes) (5 points)
1. R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes sur [0; 2π[ : (a) sin(x) =
√3
2 (b) cos(2x) =−12 (c) 1 +√
2 sin(x)>0
Solution:
(a) SurRles solutions sont π3 + 2kπ et 2π3 + 2kπ, o`uk est un entier.
Sur [0; 2π], les solutions sont π3 et 2π3 .
(b) cos(2x) =−12 ⇔2x=−2π3 + 2kπ ou 2x= 2π3 + 2kπ ⇔x=−π3 +kπ oux= π3 +kπ.
Sur [0; 2π], les solutions sont π3, 4π3 , 2π3 et 5π3 . (c) 1 +√
2 sin(x)>0⇔sin(x)>−√1
2. L’ensemble des solutions est : [0;5π4 [∪]7π4 ; 2π[.
2. D´eriver les fonctions suivantes sans vous occuper de l’ensemble de d´erivabilit´e.
(a) f(x) = (x2+ 2)3 (b) g(x) = 2 (x2+ 2)3
(c) h(x) =xcos(x)
Solution:
(a) f0(x) = 6(x2+ 2)2
(b) g0(x) =−3×2x×2(x2+ 2)−4 = −12x (x2+ 2)4.
(c) h0(x) = cos(x)−xsin(x)
3. Soitf d´efinie surRparf(x) = 3x+ 5.
(a) D´eterminer une primitiveG def. (b) D´eterminer la primitiveF deftel queF(0) = 0.
Solution:
(a) Une primitive estGd´efinie par G(x) = 32x2+ 5x; (b) la primitiveF est d´efinie par F(x) = 32x2+ 5x−11.
Exercice 3 : ´Etude d’une fonction trigonom´etrique (30 minutes) (5 points) Soitf la fonction d´efinie surRparf(x) = cos(2x)+1 dont on a trac´e ci-dessous une courbe repr´esentative :
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−π2 π2 3π
−π π 2
1.
2.
0 f
1. (a) Conjecturer graphiquement (en indiquant la d´emarche) la parit´e de f; (b) Justifier cette parit´e.
2. (a) Conjecturer graphiquement (en indiquant la d´emarche) la p´eriodicit´e de f; (b) Justifier cette p´eriodicit´e.
3. Justifier que l’on peut restreindre l’´etude def `a [0;π2].
4. (a) D´eriverf sur [0;π2] ;
(b) En d´eduire le tableau de variations def sur [0;π2].
Solution:
1. (a) On remarque que la courbe est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´es. On conjecture que la fonction est paire.
(b) Pour tout r´eelx,f(−x) = cos(−2x) + 1 = cos(2x) + 1 =f(x)
2. (a) On remarque que la courbe se r´ep`ete tous lesπ. On conjecture une p´eriode de π; (b) Pour tout r´eelx,f(x+π) = cos(2x+ 2π) + 1 = cos(2x) + 1 =f(x).
3. Par p´eriodicit´e, on peut restreindre la courbe `a [−π2;π2].
Par parit´e, on peut restreindre la courbe `a [0;π2].
4. (a) f0(x) =−2 sin(2x)
(b) f0(x)>0 ssi −2 sin(2x)>0.
x sin(x)
0 π
0 + 0
x f0(x)
f
0 π2
0 − 0
2 2
0 0
Exercice 4 : Petit probl`eme (30 minutes) (5 points)
On consid`ere la fonction f d´efinie surR parf(x) =√ x2+ 4 1. Justifier quef est d´efinie et d´erivable sur R;
2. D´emontrer quef est paire ; 3. ´Etudier la limite def en +∞;
4. (a) D´eterminerf0(x) pour tout r´eel x;
(b) En d´eduire les variations de f sur [0 +∞[.
5. D´eterminer l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au point d’abscisse 3 ;
6. D´eduire (sans calcul mais en justifiant la d´emarche) des questions pr´ec´edentes le tableau de variations def surRet l’´equation de la tangente au point d’abscisse−3.
TS7 DS 3 Page 3 sur 3 Solution:
1. Pour tout r´eel x,x2+ 4>0, doncf est d´efinie et d´erivable sur R; 2. Pour tout r´eel x,f(−x) =p
(−x)2+ 4 =√
x2+ 4 =f(x) ; 3. lim
x→+∞(x2+ 4) = +∞ donc par composition, lim
x→+∞f(x) = +∞.
4. (a) f0(x) = 2x 2√
x2+ 4 = x
√x2+ 4; (b) Sur [0; +∞[, 2x>0 et √
x2+ 4>0, doncf0(x)>0 et f est strictement croissante.
5. f0(3) = 3
√ 13.
Une ´equation est du type y= 3
√
13x+b.
De plus la courbe passe par le point d’abscisse 3 et d’ordonn´ees
√13 donc b=√
13− 9
√13 = 13−9
√13 . L’´equation r´eduite esty= 3
√
13x+ 4
√ 13.
6. Par sym´etrie, on obtient le tableau de variations suivant : x
f
−∞ 0 +∞
+∞
+∞
2 2
+∞
+∞
Par sym´etrie, l’´equation r´eduite est y=− 3
√
13x+ 4
√ 13.
Exercice 5 : Prise d’initiative (20 minutes) (3 points)
Soit g une fonction d´efinie et d´erivable sur R.
Que peut-on dire (en fonction deaetb) des variations def :x7→g(ax+b) si on sait quegest strictement croissante sur R.
Solution: Soitf d´efinie par f(x) =g(ax+b). Pour tout r´eelx,f0(x) =ag0(ax+b).
On sait que g est croissante surR, donc pour tout r´eel x :g0(x) est strictement positive.
Donc f0(x) est du signe de a.
Donc si aest positif,f est croissante et siaest n´egatif,f est d´ecroissante sur R.
