() H H C C E E H H H H H H H = = = 0 H W + H E = E + E + E +  = E + E + E +  lim E H ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ = = = E 1 ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ E H C = W + W + E = E − E C + E ∑ ∑ ∑ () H + C + C +  = + C ∑ ∑ ∑ C () = C + C +  () ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ = E + E + E +  + C + C +  ∑ ∑

PHY  3320     Hiver  2011   Perturbations  stationnaires,  page  1  sur  2    

 

Référence  :  Cohen-­Tannoudji,  chap..  11.  

 

Soit  un  hamiltonien  Hqu’on  peut  mettre  sous  la  forme    

H = H₀+H_I,    

où  H_I  est    «  petit  »  devant  H₀,  dans  le  sens  où  les  éléments  de  matrice  de  H_I  sont  petits   devant  ceux  de  H₀.  Soit  de  plus   φn  un  état  propre  de  H₀  de  valeur  propre  E_n⁽⁰⁾  et   ψn  un   état  propre  de  H  de  valeur  propre  E_n.  

 

On  pose  H_I =λW .  On  peut  alors  écrire  que    

ψ_n = φ_n + C_nk

( )

λ ^φk

∑

k≠n

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭,    

avec  comme  conditions   ψ_n ψ_n =1  et  lim

λ→0ψn = φn ,  ce  qui  implique  que  les  facteurs  C_nk   sont  nuls  si  λ=0.  Développons  E_n  et  C_nk  en  puissances  de  λ  :  

 

E_n =E_n⁽⁰⁾+E_n⁽¹⁾+E_n⁽²⁾+=E_n⁽⁰⁾+λE_n⁽¹⁾+λ²E_n⁽²⁾+ C_nk(λ)=λC_nk⁽¹⁾+λ²C_nk⁽²⁾+  

  L’équation  de  Schrödinger  impose  

 

H φ_n +λ C_nk⁽¹⁾ φ_k +λ² C_nk⁽²⁾ φ_k +

k≠n k≠n

∑

⎧

∑

⎨⎩

⎫⎬

⎭

=

(

E_n⁽⁰⁾+λE_n⁽¹⁾+λ²E_n⁽²⁾+

)

^{φn +λ Cnk(1) φk +λ2 Cnk(2) φk +}

∑

k≠n

∑

k≠n

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭  

  On  regroupe  les  termes  de  même  puissance  de  λ  :    

• À  l’ordre  0,  H₀ φn =E_n⁽⁰⁾ φn .  

• À  l’ordre  1,  H₀ C_nk⁽¹⁾ φ_k +W φ_n =E_n⁽⁰⁾

∑

k≠n ^{Cnk(1) φk}

∑

k≠n ^{+En(1) φn} ,  dont  on  tire    

E_n⁽¹⁾ φ_n =W φ_n +

(

E_k⁽⁰⁾−E_n⁽⁰⁾

)

∑

k≠n ^{φk .}  

 

Lorsqu’on  projette  cette  équation  sur   φ_n ,  on  trouve  la  correction  de  l’énergie  à  l’ordre   1  :  

 

PHY  3320     Hiver  2011   Perturbations  stationnaires,  page  2  sur  2    

 

E_n⁽¹⁾ = φn H_I φn .    

Si  on  projette  plutôt  sur   φ_m ,  m≠n,  on  trouve  que  C_nm⁽¹⁾ = φ_m W φ_n

E_n⁽⁰⁾−E_m⁽⁰⁾ .  Le  vecteur  d’état   ψ_n  s’écrit  donc,  à  l’ordre  1,  

 

ψ_n = φ_n + φ_k H_I φ_n E_n⁽⁰⁾−E_k⁽⁰⁾ φ_k

k≠n

∑

^.  

 

• À  l’ordre  2,    

H₀ C_nk⁽²⁾ φk +W C_nk⁽¹⁾ φk k≠n

∑

^=En(0)

k≠n

∑

^{Cnk(2) φk}

k≠n

∑

^{+En(1) Cnk(1) φk}

k≠n

∑

^{+En(2) φn .}  

 

La  correction  au  deuxième  ordre  de  l’énergie  s’écrit  de  ce  fait    

E_n⁽²⁾ = φk H_I φn 2

E_n⁽⁰⁾−E_k⁽⁰⁾

∑

k≠n ^.  

 

Les   développements   qui   précèdent   ont   été   effectués   en   supposant   qu’aucun   des   états   propres  de  H₀  n’était  dégénéré.  Si   φ_n  n’est  pas  dégénéré  mais  que  d’autres  états  propres   le  sont,  on  remplace  dans  les  équations  ci-­‐dessus  

k≠n

∑

 ^{et   φk  par}  

i=1

∑

g

∑

k≠n  ^{et   φki ,  où  g}  est  le   degré   de   dégénérescence.   Par   contre,   si   φ_n → φ_nⁱ   est   lui-­‐même   dégénéré,   il   faut   diagonaliser  la  sous-­‐matrice  qui  représente  la  perturbation  W  à  l’intérieur  du  sous-­‐espace   propre  associé  à  E_n⁽⁰⁾.