lim() lim(). fxetfx fxxxx ()(2)sin =+-

1 Année scolaire : 2011-12

Lycée Mateur

Série d'exercices N 1 Continuité et limites

Prof : Hatem EDDHAOUI 4 ^ème s.exp et tech

Exercice N 1

Calculer les limites suivantes:

2

2 2 2

2 2

1 2 1

2 2

3 2 0

2 2

1 3 2 2 3

lim ; lim ; lim ; lim ( 3 2 ); lim ( 3 )

1 2 1

1

3 7 3 1

lim ( 3 ); lim ( 3 3 1); lim ; lim ; lim ( 4 2)

6 3 2 2

lim ( ); lim

x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x

x x x x x x x

x x x

x x x x

→+∞ → → →+∞ →+∞

→−∞ →+∞ → → →

→+∞ →

− + − + + − + − + −

+ − −

+ −

− + −

+ − + − + + −

+ − + −

+ − −

2

0 3

2 1 cos 1 3 3

cos( ); lim ; lim

3 2 ^{x x} 9

x x x x

x x x

π

+∞ → →

− − − + −

− −

Exercice N 2

Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la fonction f :

2

4 2

1 / : cos( 1 ) 2 / : sin( 3 )

sin( )

3 / : 0

cos( 1) 1

4 / : 1

2 1

f x x en

x

f x en

x

f x x en

x

f x x en

x x

π

+

+ − ∞

+ ∞

− −

− +

֏

֏

֏

֏ Exercice N 3

On considère la fonction f définie sur [ ^{0, +∞} [ ^{pa r f x ( ) = ( x + − 2 x ) sin x .}

1) Montrer que, pour tout réel positif x , 2 sin

( ) 2

f x x

x x

= + + . 2) Montrer que, pour tout réel positif x , 2

( ) .

f x

≤ x 3) En déduire la limite de f en + ∞ .

Exercice N 4

On considère la fonction f définie sur IR par 1

( ) .

2 cos

f x = x

− 1) Montrer que, pour tout réel x , 1

( ) 1.

3 ≤ f x ≤ 2) En déduire les limites suivantes :

2

0 2

1 1 1

lim ; lim ; lim

(2 cos ) 2 cos (2 cos )

x x x

x

x x x x x

→+∞ →−∞ →

+

− − −

Exercice N 5

Soit la fonction f x : ֏ 3 x + 2 sin . x

1) a) Montrer que, pour tout réel x, 3 x − ≤ 2 f x ( ) ≤ 3 x + 2 . b)En déduire : lim ( ) lim ( ).

x f x et x f x

→+∞ →−∞

2) Soit la fonction g définie sur IR par :

0

( )

1 = 0 5

x si x f x

si x

 ≠

 

 

2

a) Montrer que g est continue sue IR.

b) Montrer que, pour x 2

, : ( ) .

3 3 2 3 2

x x

x g x x

 

∈   +∞   + ≤ ≤ − c) En déduire lim ( ).

x g x

→+∞ Interprète géométriquement le résultat.

Exercice N 6

Soit f (x) =

1 1 0

0

x si x

x

a si x

 + − ≠

 

 ≠



(avec a un réel)

1) Déterminer le domaine de définition de f.

2) Pour quelles valeurs de a, f est continue en 0.

3) Préciser, suivant a, le domaine de continuité de f.

4) Calculer : lim ( ); lim ( ( ) 1 ); lim ( ).

x f x x xf x x x x f x

→+∞ →+∞ + − →+∞

Exercice N 7

Soit la fonction

2

: 3 .

6 f x x

x x + + −

֏

1) Déterminer l’ensemble de définition de f.

2) Montrer que f est prolongeable par continuité en -3 et déterminer son prolongement.

Exercice N 8

Soit la fonction f x : ֏ x ² − + x 1.

1) Déterminer D _f .

2) Montrer que, pour tout réel de D _f , 1 ² 3

( ) ( ) .

2 4

f x = x − +

3) Montrer que la droite D d’équation y = x - 1

2 est une asymptote à la courbe de f en + ∞ _. 4) Etudier la position de la courbe de f par rapport à la droite D.

5) Etudier la nature de la branche infinie de la courbe de f en - ∞ . Exercice N 9

On considère la fonction 1

: .

f x x 1

− x

֏ −

1) Montrer que f est strictement croissante sur chacun des intervalles [ [ ^{0,1 et} ] ^{1, +∞} [ ^.

2) Déterminer f( [ [ ^{0,1 ) et f(} ] ^{1, +∞} [ ^).

3) Montrer que l’équation : ( x − 1) x = 1 admet dans 3 2 , 2

 

 

  une unique solution .

4) Déterminer une valeur approchée de à 10 ^{− 1} prés.