Résolution Analyse lnsinlncoslimsincos xxxx −− Déterminer :

PanaMaths Mars 2012

Déterminer :

( ) ^{( )}

4

ln sin ln cos

lim sin cos

x

x x

x x

→π

−

−

Analyse

Le type de forme indéterminée auquel on est confronté suggère de s’orienter vers un nombre dérivé. Pour autant, celui-ci est loin d’être immédiat …

Résolution

En tenant compte de sin cos

4 4

π ₌ π

, on a facilement :

( ) ( ) ( )

4 4

lim sin cos lim ln sin ln cos 0

x x

x x x x

π π

→ →

− = ⎡⎣ − ⎤⎦= ^.

Nous avons donc affaire ici à une forme indéterminée du type « 0 0 ».

Travaillons sur l’ensemble 0 ; \

2 4

π π

⎤ ⎡ ⎧ ⎫

⎥ ⎢ ⎨ ⎬

⎦ ⎣ ⎩ ⎭ sur lequel les fonctions sinus et cosinus prennent des valeurs strictement positives et ne prennent pas de valeur commune (sinx=cosx sur

0 ; 2

⎤ π⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ si, et seulement si x₌π4

).

On a : ^{ln sin}

( )

( )

0 ; \ ,

sin sin

2 4 sin cos cos 1 cos 1

cos cos

x x

x x x x

x x x x x x

x x x

π π − ⁻

⎤ ⎡ ⎧ ⎫

∀ ∈⎥⎦ ⎢⎣ ⎩ ⎭⎨ ⎬ − = ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠= − .

On a immédiatement :

4

1 1 1

lim 2

cos cos 1

4 2

x_→^π x⁼ π ^{= = .}

PanaMaths Mars 2012

Par ailleurs :

( )

composition

4 4

4 1

sin sin

lim lim tan tan 1

ln ln1

cos 4 lim cos 1

ln ln1 1 1 sin 1

lim 1 1 1 1 cos

x x

x X

x x x

x x

X x

X X x

π π

π

π

→ →

→

→

= = = ⎪⎫ −

⎪ ⇒ =

− =⎛⎜ ⎞⎟ = = ⎬⎪⎪ −

− ⎝ ⎠ ⎭

Finalement (produit) :

4

lnsin ln1

1 cos

lim 2 1 2

cos sin 1

cos

x

x x x x

x

→π

− = × =

−

.

Résultat final

( ) ( )

4

ln sin ln cos

lim 2

sin cos

x

x x

x x

→π

− =

−