TS Bilan Chapitre 2 : fonctions 2011-2012
Définitions :
• Définitions des limites
• Définition d’une asymptote oblique
• Définition de la continuité en a
• Définition de la dérivabilité en a
• ...
• ...
Théorèmes :
• Théorème des gendarmes
• Théorèmes de comparaison
• Théorème de composition des limites
• Théorème de la dérivée d’une fonction composée
cas deun et de√ u
• Théorème des valeurs intermédiaires
• Théorème de la bijection
• Théorème de variations d’une fonction
• Théorème de présence d’extremum
• ...
Méthodes :
• Recherche d’une signe d’un trinôme du second degré
• Transformer une fonction rationnelle par la méthode d’identification des coefficients
• Manipuler la quantité conjuguée
• ...
• ...
Présence et recherche d’une asymptote verticale
A NA
exemple : lim
x→1 x>1
−2x 1−x
Présence et recherche d’une asymptote horizontale
A NA
exemple : lim
x→+∞−3 + 2 1−x3
Présence et recherche d’une asymptote oblique
A NA
Technique de transformation def(x) dans le cas d’une fonction rationnelle Méthode : Par identification des coefficients et résolution d’un système
exemple :f(x) =2x3−x+ 1 x2+ 3 1. Écriref(x) sous la forme
ax+b+cx+d x2+ 3 2. En déduire queCf admet en +∞, une asymptote ∆
Utiliser le théorème des gendarmes
Manipulation d’encadrement, somme d’encadrements, ...
A NA
exemple :f(x) =xsin 1
x
Limite def(x) en 0 ?
Utiliser les théorèmes de comparaison
Manipulation d’inégalités, inégalités et addition, inégalité et multiplication ...
A NA
exemple :f(x) = cos (x)−3x Limite def(x) en +∞?
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TS Bilan Chapitre 2 : fonctions 2011-2012
Lever une indétermination sur une limite
Utiliser les règles sur les fonctions polynômes
A l’∞, la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite du terme de + haut degré
A NA
exemple : lim
x→−∞−3x3+x−2
Utiliser les règles sur les fonctions rationnelles
A l’∞, la limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du rapport des termes de + haut degré
A NA
exemple : lim
x→+∞
2x3−2 1−x3
Étudier le signe du dénominateur
A NA
Signe d’un trinôme du second degré
exemple :f(x) = 2x+ 1 2x2−3x+ 1 Calculer lim
x→1f(x)
Utiliser la quantité conjuguée
A NA
exemple :f(x) =√
x2+ 2x+ 3 Montrer quey=x+ 1 est asymptote
àCf en +∞
Utiliser la définition du nombre dérivé
f dérivable en a donc lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a est le nombref′(a)
A NA
exemple :f(x) = cosx−1 x Limite def(x) en 0 ?
CONTINUITÉ
Justifier la continuité ou la discontinuité en a
f continue en a ⇔ lim
x→af(x) =f(a)
A NA
exemple :f(x) =
x2−1 six62 5−xsix >2 f continue en 2 ?
DÉRIVABILITÉ
Justifier la dérivabilité ou la non-dérivabilité en a
f dérivable en a sif est continue en a et si lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a est un nombre A NA
exemple :f(x) =
x2−1 six62 5−xsix >2 f dérivable en 2 ?
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TS Bilan Chapitre 2 : fonctions 2011-2012
Déterminer l’équation d’une tangente en un point du courbe Équation tangente en A(a ;f(a)) :y=f′(a)(x−a) +f(a)
A NA
exemple :f(x) = 2√ x
Équation de la tangente en A(4 ;f(4))
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
A NA
exemple :P(x) est un polynôme de degré 3
Prouver que l’équationP(x) = 0 admet au moins une solution
Utiliser le théorème de la bijection
A NA
Utiliser une fonction, la dériver et faire un tableau de variations
exemple :f(x) = x4
4 −2x3+ 4x2−5 Déterminer le nombre de
solutions def(x) = 0 et donner un encadrement de chaque solution
COMPOSITION
Ensemble de définition d’une fonction composée
A NA
Écriref sous la formevouoùv:x7−→√ x
exemple :f(x) =√
x2−5x+ 6 Ensemble de définition
def
Calculer la limite d’une fonction composée
A NA
Écriref sous la formevouoùv:x7−→√ x
exemple :f(x) =
rx+ 3 x−3 Limite def(x) en +∞
Calculer la dérivée d’une fonction composée
A NA
Écriref sous la forme sin ou
exemple :f(x) = sin 1
x2+ 1
Intervalle de dérivabilité ? Calcul def′(x)
Calculer la dérivée d’une fonction de la formeun
A NA
f =un donc siuest dérivable sur I,f′=nu′un−1
exemple :f(x) = (x+ sinx)2 Intervalle de dérivabilité ? Calcul def′(x)
Calculer la dérivée d’une fonction de la forme√ u
A NA
f =√
udonc siuest dérivable sur I,u >0 sur I,f′= u′ 2√ u
exemple :f(x) =√5 + sinx Intervalle de dérivabilité ? Calcul def′(x)
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