Série 8 d’exercices limites et continuité Bac PC-SVT Exercice 1 : (Fonctions composées) Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées. 1.

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Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées.

1. lim ² 3

x x x

  2.

1

lim 1 1

x

x x







3. 1₂

lim 1

x x

x

  Correction Exercice 1 1. lim ² 3

x x x

  présente une forme indéterminée





∎ Pour tout x>0 ; on a : ² 3 3

3 1 x 1

x x x

x x

     (Car x>0 x x) De plus lim

x x

  et lim 3 0

x^x  ; Donc : lim ² 3

x x x

   .

∎ On peut aussi dire que : lim ² 3

x x x

    et lim

X X

   ; Donc par propriété des limites de fonction composée ; on a : lim ² 3

x x x

   

2. On a

1

lim 1 1

x

x x



  

 (Car

 

1

lim 1 0

x _ x ^

   et

 

1

lim 1 2

x _ x

   donc :

1

lim 1 1

x

x x



  

 Donc par propriété des limites de fonction composée ; on a :

1

lim 1 1

x

x x



  

 3. On a : lim ¹₂ 0

x^x  donc 1₂

lim 1 1

x^ x  et lim

x x

  

Donc par produit, 1₂

lim 1

x x

x

   

Exercice 2 : Formes indéterminées

Dans chacun des cas déterminer les limites indiquées.

1. lim ² 1 ² 1

x x x

   

2. lim ² 4

x x x x

  

3.

3 2

2 2

2 2

lim 4

x

x x x

x



  



4. 3

3 3

lim^x 3 x x







www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Correction Exercice 2

1. Nous sommes en présence de la forme indéterminée “∞–∞”. Pour lever cette indétermination, nous allons utiliser l’expression conjuguée.

On a pour tout x>0 ; 2 2







2 2

1 1 1 1

1 1

1 1

x x x x

x x

x x

     

   

  



 



2 2

2

1 1

1 1

x x

x x

x

 

  

 

 



  



1 x2

 

2 2

2 2

1

1 1

2

1 1

x x

x x



  



  

Comme lim ² 1 ² 1

x x x

      ; (Car lim ² 1

x x

   et lim ² 1

x x

   ) alors

2 2

2 2

lim 1 1 lim 2 0

1 1

x x x x

x x

      

   2. On procède de la même manière. Pour x0







2

2

4 4

4

4

x x x x x x

x x x

x x x

   

  

 





2 2

4

4

x x x

x x x

x

 



 



4x x2

 

2 4

x  xx 4x



x 4

1 1

4

1 4 1

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Donc ; ² 4

lim 4 lim

1 4 1

x x x x x

x

    

 

 

 

 

Et comme lim ⁴ 0

x^x  alors 4

lim 1 1 2

x^  x   ; par suite lim ² 4 2

x x x x

   

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 3. Le numérateur et le dénominateur de la fraction

3 2

2

2 2

4

x x x

x

  

 s’annulent en2.

3 2

2 2

2 2

lim 4

x

x x x

x



  

 On va donc factoriser chacune de ces expressions par ^{x }

 

Par le procédé de la division euclidienne appliqué au numérateur on a :

On peut donc écrire : ^{x32x2  x 2}



 



Et on remarquant que : x²4 et sous la forme d’identité remarquable





^

^

^

On peut écrire : ^{x2 4}







L’expression

3 2

2

2 2

4

x x x

x

  

 devient donc :

 

3 2

2

2 2 2

4

x x x x

x

   

 

 

 

2 1

2 x x





 

 

 

2 1

2 2 x x x

 

 

Par suite

 

 

3 2 2

2 2 2

2 2 1 3

lim lim

4 2 4

x x

x x x x

x x

 

   

  

 

 

 

2 1

2 x

x





4. De nouveau le numérateur et le dénominateur dans l’expression ^{3 3} 3 x x



 s’annulent en 3.

Il est plus commode dans ce cas d’utiliser le conjugué du numérateur on obtient :

   

 

3 3

3 3 3 9

3 3 3 3

x x x

x x x

  

 

  



    

3 3x 3 3x 3



 

 

3 3

3 3 3 1

lim lim

3 3 3 2

x x

x

x x

 

  

 