Série 6 d’exercices limites et continuité Bac PC-SVT Exercice 1 :

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série 6 d’exercices limites et continuité Bac PC-SVT

Exercice 1 :

Soit la fonction définie sur



^{ }^1;



^{par :} ₂

1 ( )

1 f x x

x x



   Déterminer les limites de , si elles existent, en 0 et en +∞.

Correction exercice 1 :

Le numérateur et le dénominateur s’annulent en 0 , il s’agit donc d’une forme indéterminée.

Première méthode

On va multiplier par l’expression conjuguée.

Soit x0 ;

2 1

( ) 1 f x x

x x



  

 

  

 

  ^ ^

 

2

2 2

2 2 2

1 1

1 1 1 1

1 1

1

x x x

x x x x

x x x

x x

x x x

x x

x

  



     

  



  

  

 

  

 

Donc

  

²



0 0

1 1

lim lim 2

1

x x

f x x

 

  

  



Deuxième méthode

On pose ^{g x}

 

^ ¹^^x² ^ ¹^^x ; la fonction g est dérivable en 0 et



^{   }^x



^1;

 

^;

 

₂ ¹

1 2 1 g x x

x x

  

 

; comme g est dérivable en 0 alors :

   

0

 

0 1

lim 0

0 2

x

g x g

x g



    

 Or on a pour tout ^x^{  }



^1;



^et^x^⁰^;

 

f x 1

 g x et la fonction x ¹

 x et continue sur IR^ alors :

 

   

0 0 0

lim lim lim 1 2

x x x

f x x

g x g x

x

      

En +∞ le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur est de la forme (+∞ − ∞), il est donc lui-même une forme indéterminée. On peut penser à multiplié par l’expression conjuguée mais en regardant cette expression on voit que l’on retombe sur une forme indéterminée, nous allons voir une autre technique.

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 En +∞ x0 ; donc | |x x alors :

2 2

1 ( )

1 1

1 f x x

x x x x

  

  

 

 

2 2

1

1 1 1

x 1 x x

 

  

 

 

On a : lim ¹₂ 0

x^x  et lim ¹ 0

x^x  donc 1₂ 1₂ 1

lim 1 1

x^ x   x  x 

D’où

 

2 2

lim lim 1 1

1 1 1

1

x f x x

x x x

   

 

  

 

 

Exercice 2 :

Déterminer les limites suivantes : )

2 0

1 1

lim

x

x x

x



   )

2 2

1 1

lim

x

x x

x



  

Correction exercice 2:

a )

2 0

1 1

lim

x

x x

x



  

déjà vu dans le premier exercice

 

1 x 1 x2

x f x

  

 

2 0

1 1 1

lim^x 2

x x

x



  

 b )

2 2

1 1

lim

x

x x

x



  

il s’agit d’une forme indéterminée de la forme ""

 . Première méthode :

Soitx0 ; on a x x en factorisant par x² au numérateur on obtient :

2 2

2

2 2

2

2 2

1 1 1

1

1 1 1

1

x x

x x x

x x

x x x x

x

x x x

x

   

  

   

      



    

  

    

    

 



    

  

    

    

 



2

1 1

lim lim 0

x^x x^x  donc : 1₂ 1₂ 1

lim 1 1

x^ x x x

    

   

    

    

 

et lim

x x

  

Alors

2 2

1 1

lim 0

x

x x

x



  



(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Deuxième méthode :

Soitx0 en multipliant et divisons par le conjugué du numérateur ; on obtient :

  

 

2 2

2

2 2 2

1 1 1 1

1 1

1

x x x x

x x

x x x x

     

  



  



2 1

x

 

 

2 2

2

1 1

x

x x x

x

x x x



  

  

  

Comme lim ¹ 1

x

x x



  et x^lim



¹ x² ¹ x



      donc :



²



lim 1

1 1

x^ x  x

Alors

2 2

1 1

lim 1 0 0

x

x x

x



  

   Exercice 3 :

Soit définie sur IR par : (0) = 0 et

2

( ) x 0

x x si x

f   x 

Etudier la continuité de la fonction f en 0 . Correction exercice 3 :

(0) = 0 et

2

( ) x 0

x x si x

f   x 

Pour tout xIR on a : x²  x , nous allons donc distinguer deux cas x0 etx0 . Si < 0 alors

2

( ) x x x 1

x x x x x

f x

x x

        donc

0 0

lim ( ) lim 1 1

x _ f x x _x

     

Si x0alors

2

( ) x x x 1

x x x x x

f x

x x

        donc

0 0

lim ( ) lim 1 1

x _ f x x _x

    

Par conséquent

0 0

lim ( ) lim ( )

x x

f x f x

 

 

 Ce qui montre que n’est pas continue en 0.