Exercice 1 sur « limites et continuité » Exercice 1:

(1)

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Exercice 1 sur « limites et continuité »

Exercice 1:

Donner les limites suivantes. Détaillez les justifications sur et faites apparaître éventuellement les règles opératoires.

1)

3 2

2

3 7 5

lim 1

x

x x



  

  2) lim ⁴₂ ³

3 1

x

x x



 

 3)

3

lim 5 3

x

x x

 



 4)

2 3 2

3 5

lim 4 3

x

x x





  5)

2 1 2

3 5

lim 4 3

x

x x





  6)

1

lim 1

2

x

x x







7) 2 1

lim

x

x x



 8)

2 1

lim 4

x

x x





 9)

2 2

2 3 1

lim 1 3

x

x x

x



 

 10)

2

lim 1

2

x

x x





 11)

2 1

lim 4

x

x x





 12)

3

6 3

lim^x 3

x x



 



13) lim ² 1 1

x x x x

     14) lim ² 1 2

x x x x

    15)

8

2 4

lim

1 3

x

x x





  16)

2

lim 5

x

x x



 



Correction Exercice 1

Rappel les formes indéterminées dans un calcul de limite : ^"



^{  }

  

^"^;^"^^"

 ;" "⁰

0 et "0 " . Pour calculer une limite il faut commencer par remplacer la valeur pour laquelle la limite est demandée dans l’expression donnée, si le résultat trouvé ne présente pas de forme indéterminée alors on arrête et c’est la valeur demandée mais si après la première étape on obtient une des formes indéterminées alors il faut trouver une méthode pour enlever cet indétermination ; c’est ce qu’on essayera d’apprendre à travers la correction de ces exercices :

1) Calculons

3 2

2

3 7 5

lim 1

x

x x



  

 

Pour une limite à l’infini d’une expression rationnelle avec un polynôme au dénominateur et au numérateur on applique la réglé du terme de plus haut degré ; alors :

3 2 3

2 2

3 7 5 3

lim lim lim 3

1

x x x

x x x x

  

   

    

 

2) Calculons lim ⁴₂ ³

3 1

x

x x



 



En appliquant la réglé du terme de plus haut degré ; alors :

2 2

4 3 4 4

lim lim lim 0

3 1 3 3

x x x

x x

x x x

  

   

  

 3) Calculons

3

lim 5 3

x

x x

 



En remplaçant x par 3 dans ⁵ 3

x x



 on obtient



^¹⁵



au numérateur et 0^ au dénominateur ; alors :

3

lim 5 3

x

x x

 

  

 .

(2)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 4) Calculons

2 3 2

3 5

lim 4 3

x

x x





  En remplaçant x par

 

^³ ^dans

2 2

3 5

4 3

x x



  on obtient

 

12 au numérateur et 0 au dénominateur ; mais

pour déterminer si on a un0^ ou un 0^ il faut étudier le signe de x²4x3 à droite de

 

^³ ^{; dans}

notre

cas on a 0^ ; alors :

2 3 2

3 5

lim 4 3

x

x x



  

  5) Calculons

2 1 2

3 5

lim 4 3

x

x x





 

De la même manière que précédemment on obtient :

 

8 au numérateur et 0^ au dénominateur ; alors :

2 1 2

3 5

lim 4 3

x

x x



  

  6) Calculons

1

lim 1

2

x

x x







Dans ce cas on applique la définition de limite de fonction composée ; ¹ 2 x x

x



  et x x ; on dira que :

1

lim1 0

2

x

x x



 

 et la fonction x xest continue en 0 ; alors :

1

lim 1 0 0

2

x

x x



  

 7) Calculons 2 1

lim

x

x x



 1ére méthode

C’est commencer par factoriser le numérateur et le dénominateur par x puis simplifier l’expression : Soit x0 ; on a :

2 1

2 1 x x

x x

x

 

  

  

x

2 x 1

  x ; et comme 1

lim 0

x^ x  alors :

2 1 1

lim lim 2

x x

 

  

    

 

(Car _x^{lim 2}_



^x



^{ }^.

2éme méthode

Procéder par un changement de variable puis appliquer la règle du plus haut degré : On pose : t x quand x  alors t  et on a :

2 1

xlim x

x



 =

2 2 1

lim lim 2

t t

t

 

   .

8) Calculons

2 1

lim 4

x

x x





 Pour tout x0 ; on a :

 

2 2 2

2 2

1 1 1

4 4 8 16

x x x

x x x x

  

 

   

∎

2 2

lim 1 lim 1

8 16

x x

x x x

 

  

  ; et comme la fonction x x est continue en 1 ; alors :

(3)

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2 2

2

1 1

lim lim 1 1

4 8 16

x x

x x x

 

 

  

  

9) Calculons

2 2

2 3 1

lim 1 3

x

x x

x



 



On applique la règle du plus haut degré car il s’agit d’une limite en l’infini d’une quotient de deux polynômes ; on alors :

2 2

2

2 3 1 2

lim lim

1 3

x x

x x x

x

 

 

  3 x² 2

 3. 10) Calculons

2

lim 1

2

x

x x

 



 On a :

2

lim 2 0

x _x ^

   et

2

lim 1 3

x _ x

   donc :

2

lim 1 2

x

x x



  



En appliquant les règles de limite de fonction composée par la fonction 1 2 x x

x



  et la fonction x x

On obtient

2

lim 1

2

x

x x

 

  

 11) Calculons

2 1

lim 4

x

x x





Pour tout x0 ; on a : ^x^{  }⁴



^x^⁴



² ^{ } ^x²^⁸^x^¹⁶ Donc :

2 2 2

2 2

1 1 1

lim lim lim

4 8 16 8 16

x x x

x x x x x

  

  

  

     

Comme

2 2

lim 1 1

8 16

x

x x



 

  ; la fonction x x est continue en 1 ; alors :

2 1

lim 1 1

4

x

x x



    

 .

12) Calculons

3

6 3

lim^x 3

x x



 



En remplaçant x par 3 dans l’expression on obtient une forme indéterminée " "⁰

0 dans ce cas puisqu’on le numérateur de la forme



^{a b}^



^avec^a^ ^x^⁶et b3 ; alors on multiplie le numérateur et le

dénominateur par le conjugué



^{a b}^



^c.à.d



^x^{ }⁶ ³



; alors Pour tout x3 ; on a :

  

   

 

   

2 2

6 3 6 3 6 3

3 6 3 3 6 3

3

x x x

x x x x

x

     



     

 



^x^³

  

 

6 3 1

6 3 x x

 



 

(4)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Donc :

 

3 3

6 3 1 1

lim lim

3 6 3 6

x x

x

x x

 

 

 

  

13) Calculons lim ² 1 1

x x x x

    

Dans ce cas en remplaçant x par  ; on obtient une forme indéterminée ^"



^{  }

  

^"; alors pour enlever la forme indéterminée on procède en deux étapes ; la première c’est de multiplier par le conjugué de ^x²^{    }^x ¹ ^x ¹ ^x²^{  }^x ¹



^x^¹



et diviser par cette même quantité c.à.d.

 

2 1 1

x   x x ; puis factoriser par x dans le dénominateur et simplifier l’expression (ceci et parce le coefficient de x²à l’intérieure de la racine est égale à celui de x à l’extérieure de la racine) ; on obtient pour tout x0 :

 

   ^ ^ 

 

2 2

2 2 2

2

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

x x x x x x

x x x

x x x x

        

       



   

   

   

   

  

 

2

x

  x 1 x² 2x1

2

1 1 1

1 1

3

x x x x

x

  

   

  

 

 

x ₂ ₂

3

1 1 1

1 1

x x x

 

    

   

    

 

Et comme : lim ¹ 0

x^x  et lim ¹₂ 0

x^x  ; alors :

2

3 3

lim 1 1 lim

1 1 1 2

1 1

x x x x x

x x x

 

       

 

    

 

14) Calculons lim ² 1 2

x x x x

   

Dans ce cas en remplaçant x par  ; on obtient une forme indéterminée ^"



^{  }

  

^"; alors pour enlever l’indétermination il suffit de factoriser par x car le coefficient de x²à l’intérieure de la racine est différent de celui de x à l’extérieure de la racine ; alors pour tout x0 ; on a :

2

1 1

1 2 1 2

x x x x

x x

 

        

 

; alors ² 1 1₂

lim 1 2 lim 1 2

x x x x x x

x x

 

 

        

 

Et comme : lim ¹ 0

x^x  et lim ¹₂ 0

x^x  ; donc : lim 1 ¹ ¹₂ 2 1 2 1

x^ x x

 

      

 

 

. Par suite : lim ² 1 2

x x x x

     .

(5)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 15) Calculons

8

2 4

lim^x 1 3 x x





 

En remplaçant x par 8 dans l’expression on obtient une indétermination de la forme " "⁰

0 ; dans ce cas puisqu’on a une expression de la forme ^{a b}

c d



 alors on multiplie et on divise les conjugués du numérateur et celui du dénominateur c.à.d on multiplie par c d a b 1

a b c d

 

 

  ; alors pour tout x8 ; on a :

  

 

2 4 2 4 1 3

2 4

1 3 1 3 1 3 2 4

2 16 1 3

1 9 2 4

2 8

x x x

x

x x x x

x x

x

   

  

      

  

 

  



 x8

 

1 3

2 4

2 1 3

2 4

x x x

x

 





 





Donc :

 

8 8

2 1 3

2 4 2 6 3

lim lim

8 2

1 3 2 4

x x

 

   

  

  

.

16) Calculons

2

lim 5

x

x x



 



En remplaçant x par  on obtient une forme indéterminée alors pour enlever l’indétermination on simplifie l’expression comme suit ; pour tout x0 ; on a :

2 2 2

2

2 2

5 5

5

x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

  

 

  

  

 

Et comme : lim ₂ ⁵ lim ¹ 0

x x

x

x x x



 

  

 ^et

2 2

lim lim 1

x x

x x x

   

 ; et la fonction x x est continue à

droite de 0 et aussi continue en 1 ; alors ₂ 5

lim 0

x

x x



 

 ^et

2

lim 2 1

x

x x

 

 ; par suite

2

lim 5 1

x

x x



   



.

On peut procéder par une factorisation et simplification par x dans le numérateur et le dénominateur.

Exercice 1 sur « limites et continuité » Exercice 1:



  





 

 

 

 





 

















  

   

 

   



  

 

 



  





 

 

 

     

 

 



  

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   ^ ^ 