2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:
Donner les limites suivantes.Détaillez les justifications sur et faites apparaître éventuellement les règles opératoires.
1 xlim+ -3x3 + 7x2 - 5
1 + x + x2 = 2 xlim--4x + 3
3x2 + 1 =
3 x3 x>3
lim -5x
3 - x = 4
x-3 x>-3
lim 3x2 - 5x x2 + 4x + 3 =
5 x-1 x>-1
lim 3x2 - 5x
x2 + 4x + 3 = 6 nlim+ n
(n + 3)(n + 5) =
7 x1
x<1
lim 1 - x
x + 2 = 8 xlim2 sin 1
x =
9 xlim x+ 2+ 1
x + 4 = 10 xlim+2x - 1
x =
11 nlim+ n - n = 12 xlim+ x2 - x + 1 - 2x =
13 xlim-2x2 - 3x + 1
1 - 3x2 = 14
x-2 x<-2
lim x - 1 x + 2 =
15 xlim+ x2 - x + 1 - x - 1 = 16
nlim+
n2 + 1 n 2n2 + 1 = 17 xlim- x2 + 1
x + 4 = 18 xlim3 x + 6 - 3
x - 3 =
19 xlim8 2x - 4
x + 1 - 3 = 20 xlim+ x + 5 - x
x2 - x =
21 xlim+ cos 1 x =
22 nlim+ n n2 + 1 =
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Déterminer les limites suivantes (on donnera toutes les justifications utiles) : 1°) lim
n 5
- 1
2 n
2°) lim
n
n - 2 n 2 + 3n 3°) lim
x
2 + cos x 2 + x 4°) lim
x 3x2 - 2 + x 5°) lim
x
2x4 - x2 + 1 -3x3 - x 6°)
2
lim
x
(x + 2)3 x2 - 3 7°)
1 1
lim
x x
x2 + 3x + 1 1 - x 8°)
2
lim
x 2x - 4
x + 7 - 3 9°)
2 2
lim
x x
-2x2 - x + 6 x2 - 2x - 8 10°) lim
x2x + -1 + 5x3
Exercice 3:
Déterminer les limites suivantes (on donnera toutes les justifications utiles) :
1°) lim
x
3x4 - x2 + 3 2 - x2 2°) lim
x x + -2 + 3x3
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lim1
x x2 - 2 4°) lim
x sin x + 1 1 + x 5°)
2 2
lim
x x
x2 + 3 2 - x
6°)
3 3
lim
x x
x2 + x - 6 -3x2 - 7x + 6 7°) lim
x2
- 1
3 n
8°)
3
lim
x
2x - 6 x + 1 - 2 9°) lim
x
n - 3n 2n - 4 10°) lim
x 2x2 - 3 + x
Exercice 4:
Déterminer les limites suivantes (On justifiera soigneusement) 1)
2 2
lim
n x
x2 - 5x + 6 (2 - x)2 2) lim
x3x - 2x2 + 3 3) lim
x3x - 2x2 + 3 4) lim
x
x3 + 1 x2 - 2x - 2 5) lim
x
sin n 2 n n 6)
2
lim
x 3x + 3 - 3 2 - x
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Soit f la fonction définie sur ]0,+[ par : f(x)= cos(x) + 3 x – 2.
1. Les opérations classiques sur les limites permettent-elles de calculer la limite en + ? 2. a. Donner un encadrement de f(x) pour x positif
b. En déduire la limite de f(x) en +
Exercice 6:
1) Soit f une fonction telle que pour tout x>1, 2 ( ) 2
² f x
x x . Déterminer lim
x f(x) 2) Soit f une fonction telle que pour tout x>1, 2 ( ) 3 3
f x 2
x x . Déterminer lim
x f(x) 3) Les propriétés suivantes permettent-elles de conclure concernant lim
x f(x) et lim
x f(x) ?
i) f(x)≥ 2x-3 ; ii) f(x)≥ x2-3
Exercice 7:.
On considère la fonction définie sur [0; [ par f(x) ≥ x- x + 4 1) Montrer que pour tout x [0; [ , f(x) ≥ 3 x
2) Déterminer lim
x f(x)
Exercice 8
Soit la fonction f définie sur D = [0; [ parf x( ) x 2 x 1) Démontrer que, pour tout x de D, on a : ( ) 2
f x 2
x x
.
2) Démontrer que, pour tout x]0; [ : 0 f x( ) 2 x
3) En déduire la limite de la fonction f en .
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On considère la fonction numérique f définie par f(x)=2x-sin x 1) Montrer que pour tout x réel 2x-1 f (x) 2x+1
2) En déduire les limites de f lorsque x tend vers et lorsque x tend vers
Exercice 10
Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en et en de chacune des fonctions f suivantes (si elles existent):
1 cos 1) ( )
2) ( ) sin
² 1 f x x
x
x x
f x x
Exercice 11
On veut trouver la limite en de ( ) 1 x²
f x x
1) Montrer que pour x>0 , x2<1+x2<(1+x)2 2) En déduire pour x>0 un encadrement de f(x).
3) En déduire la limite de f en.
Exercice 12
Soit f la fonction définie par : ( ) ² 1 2
( ) 5 2
f x x si x
f x x si x
f est-elle continue sur son ensemble de définition?
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Mêmes questions avec :
( ) 2 3 1
( ) 1 1
( ) 3 1
f x x si x
f x x si x
f x x si x
sur
Exercice 13:
Soit f la fonction définie par
2 2 x 5
f ( x ) si x 2
x 2
f ( 2 ) m
Déterminer m pour que f soit continue en 2.
Exercice 14:
Soit f la fonction définie par
x 1
f ( x ) si x 1
x 3
2 m x 3
f ( x ) si 1 x
2 x 2
x ² 1 3
f ( x ) si x
x ² 2 x 4 2
1/ déterminer m pour que f soit continue en 1.
2/ pour la valeur de m trouver:
a) étudier la continuité de f en 3 2 .
b) déterminer le domaine de continuité de f.
Exercice 15:
Soit f la fonction définie par
f ( x ) x a x ² x 1 si x 0
f ( x ) x ² x si 0 x 1
x 1
f ( x ) bx si x 1
x ² 3 2
1/ calculer
x x
lim f ( x ) et lim f ( x )
.
2/ déterminer a et b pour que f soit continue en 0 et 1.
Exercice 16:.
Soit f une fonction définie et continue sur [-3;4] dont le tableau de variations est :
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Dénombrer, sans justifier, les solutions des équations suivantes : a)f(x)=3 b) f(x)=0 c) f(x)=-2
Exercice 17:
Soit f la fonction numérique définie sur [0;14] dont la représentation graphique est :
1)Citez deux intervalles sur lesquels on peut appliquer le théorème de la bijection en expliquant pourquoi
2)Citez un intervalle sur lequel on ne peut pas appliquer le théorème de la bijection en expliquant pourquoi
3)Peut-on trouver un unique nombre tel que f()=6 ? Si oui, explicitez pourquoi et donner un encadrement de à l'aide de deux entiers consécutifs.
4)Même questions avec un unique nombre tel que f()=0 ?
Exercice 18
Le tableau ci-dessous résume les variations de f définie sur I=[-2;2] :
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On précise que f(0)=1
1)Peut-on trouver I tel que ( ) 3 f 2 ? 2)Peut-on trouver I tel que f()=0,1 ?
3)Montrez qu'il existe unique, [0;2], tel que f()=2,5
Exercice 19:.
Démontrer que l'équation x3+3x=5 admet une solution et une seule dans IR.
Donner une valeur approchée à 10 -2 près de cette solution.
