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Dans chacun des cas suivants déterminer l’ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition.
(5 ² 1)5
( ) 3 ² 5 1 ; ( ) ;
3 ² 5 2
3 ² 5
( ) ; ( ) 3 ² 1
2 ² 7
f x x x f x x
x x
f x x f x x x
x
= − + + = −
− +
= + = − +
− +
Théorème (rappel) :
f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un réel de I.
Si f et g sont continues en a, alors f+g ; f.g ; |f| et fn (n∈IN*) sont continue en a.
Si f continue en a et f(a)≠0, alors 1 1
; g , n
f f f
sont continues en a.
Si f continue en a et f(a)positif alors f continue en a.
Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
Toute fonction rationnelle est continue en tout point de son domaine de définition.
Les fonctions x ֏ co sx et x ֏ sin x sont continues en tout réel.
Activité :
Soit f la fonction définie par 7 3
( ) 2
f x x
x
= + −
− . 1) Vérifier que pour tout x∈Df ; 1
( ) 7 3
f x = x
− + . 2) En déduire ;
2
lim ( )
x f x
→ . Théorème : (rappel)
Soit f une fonction définie sur un ouvert I, sauf peut être en a de I. s’il existe une fonction g définie sur I, continue en a et tel que f(x)=g(x) pour tout x≠a , alors lim ( ) ( )
x a f x g a
→ = . Théorème (rappel) :
Soit f une fonction définie sur un ouvert I sauf un réel a de I. si la fonction f admet une limite finie l en a alors f est prolongeable par continuité.
www.zribimaths.jimdo.com 2 Activité :
Soit f la fonction définie par
² 2
( ) 1
1
² 1
( ) 1
1 (1) 0
x x
f x si x
x
f x x si x
x f
+ −
= <
−
−
= >
−
=
.
f est elle continue en 1.
Théorème (rappel) :
f une fonction définie sur un ouvert I et a un réel de I.
f est continue en a si et seulement si ,lim ( ) ( )
x a f x f a
→ = . Activité :
Soit f la fonction définie sur [0,π] par ( ) ² sin
]
0 ,]
(0 ) 1
x x
f x si x
x f
+ π
= ∈
=
.
Montrer que f est continue sur [0,π]
Théorème (rappel) :
Une fonction est continue sur un ouvert I si et seulement si elle est continue en tout réel de I Une fonction est continue sur un intervalle [a,b] si et seulement si elle continue sur ]a,b[, à
droite en a et à gauche en b.
Une fonction est continue sur un intervalle ]a,b] si et seulement si elle continue sur ]a,b[, à droite en a .
Une fonction est continue sur un intervalle [a,b[ si et seulement si elle continue sur ]a,b[ et à gauche en b.
Activité :
Compléter les tableaux suivants : l et l’ deux réels.
Limf L L L +∞ -∞ +∞
Limg L’ +∞ -∞ +∞ -∞ -∞
Lim(f+g)
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Limf L L +∞ +∞ L ≠0 0
Limg L’ ∞ L >0 L <0 ∞ 0
lim f g
Activité :
Déterminer les limites suivantes :
3
3
2 ² 5 1
lim ( 3 ² 1) lim lim 2 1 2 ² 3
3 2
lim 3 2 1 ² 1 lim 3 9 ² 1 lim 2 1 4 ² 2
lim 1
5
x x x
x x x
x
x x
x x x x x
x
x x x x x x
x x
→ + ∞ → −∞ → +∞
→ − ∞ → +∞ → − ∞
→ + ∞
+ −
− − + + + − +
+
+ + + + + + +
+ +
2 1 3 3
2
3 ² 1 4 ² 5 6 ² 9
lim lim lim
² 3 2 2 1 2 3 3
² 1 lim 3 ² 1 4
x x x
x
x x x x x
x x x x x
x
x x
→ → →
→ +
+ − + − −
− + − − − + −
+ + −
Activité :
La courbe ci contre est la représentation graphique d’une fonction définie sur IR ; Cf admet une branche parabolique de direction (O, j
) et la droite y=2 est une asymptote à Cf.
Déterminer :
lim ( ) ; lim ( ) lim ( )
x x x
f x f x et f x
→ −∞ → +∞ → +∞ x
Limf L L>0 L>0 +∞ -∞ +∞ 0
Limg L’ +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ ∞
Lim(f.g)
www.zribimaths.jimdo.com 4 Activité :
La courbe ci contre est la représentation graphique d’une fonction définie sur IR* ; les droite x=-1 et y=-x+2 sont des asymptotes à Cf.
Déterminer :
1 1
lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) 2
lim ( ) ; lim 2
( ) 2
lim ( ) ; lim 2
( )
x x x
x x
x x
f x f x f x x
f x x
f x x
f x f x
→ −∞ → +∞ → −∞
→ +∞ → +∞
+ −
→ − → −
+ − + −
+ −
Activité :
Compléter le tableau suivant :
limites Interprétation graphique
lim ( )
x a
± f x
→ = ±∞
lim ( )
x f x a
→ ±∞ =
lim ( ) ( ) 0
x f x a x b
→ ±∞ − + =
lim ( ) 0
x
f x
→ ±∞ x =
lim ( )
x
f x
→ ± ∞ x = ±∞
Activité :
Soit f la fonction définie par f x( ) = 4 ²x − +x 1 . 1) Déterminer lim ( ).
x f x
→ +∞ .
2) Déterminer ( )
lim
x
f x
→ +∞ x . 3) Déterminer lim ( ) 2 .
x f x x
→ +∞ − et interpréter graphiquement le résultat.
Reprendre la même étude au voisinage de -∞.
www.zribimaths.jimdo.com 5 Soit u et v deux fonctions définies par u(x)=x²+1 et v(x)=
2 x x − .
1) Soit h la fonction définie par h(x)=v(u(x)) ; calculer si possible : h(3), h(1), h(-4) et h(-1).
2) Déterminer E={x∈IR ; tel que x∈Du , u(x)∈Dv} ; que représente l’ensemble E pour la fonction h.
3) Expliciter, pour tout x de E, la fonction h.
Définition :
Soit u une fonction définie sur I et v une fonction définie sur J contenant u(I).
La fonction qui à tout x de I associe v(u(x)) est appelé fonction composée de u par v et noté vou.
Activité :
Dans la figure ci contre Cf est la
représentation graphique d’une fonction f définie sur IR.
1) Déterminer lim 2
x
x
→ +∞ x − ; en
déduire lim ( )
2
x
f x
→ +∞ x− . 2) Déterminer
1
lim ( 2 ) 1
x
f x
→ − − . Théorème (admis) :
Soit u et v deux fonctions ; a, b et c des réels finis ou infinis.
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a x b x a
s i u x b e t v x c a lo r s v o u x c
→ = → = → =
Application :
Déterminer
0 0 4
1 s in c o s ² 1
lim c o s ; lim ; lim
x x x
x x x
x x x
π
→ + ∞ → →
− −
.
Activité :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a et v une fonction définie sur un intervalle J contenant u(a).
Montrer que si u est continue en a et v est continue en u(a) alors vou est continue en a.
www.zribimaths.jimdo.com 6 Théorème :
Soit u une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel a et v une fonction définie sur un intervalle ouvert J contenant u(a).
si u est continue en a et v est continue en u(a) alors vou est continue en a.
Application :
Soit la fonction f définie par :
cos( )
( ) 2 1
1 (1) 2
x
f x si x
x f
π π
= ≠
−
=−
1) Etudier la continuité de f en 1.
2) Déterminer le domaine de continuité de f.
Activité :
f,u et v trois fonctions définies sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I, l et l’ deux réels.
1) Montrer que si u(x)≤v(x) pour tout x≠a et si lim ( ) lim ( ) '
x au x l et x av x l
→ = → = alors l≤l’.
2) Montrer que si u(x)≤f(x)≤v(x) pour tout x≠a et si lim ( ) lim ( )
x au x l et x av x l
→ = → = alors
lim ( )
x a f x l
→ =
Théorème :
f,u et v trois fonctions définies sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I, l et l’ deux réels.
si u(x)≤v(x) pour tout x≠a et si lim ( ) lim ( ) '
x au x l et x av x l
→ = → = alors l≤l’.
si u(x)≤f(x)≤v(x) pour tout x≠a et si lim ( ) lim ( )
x au x l et x av x l
→ = → = alors lim ( )
x a f x l
→ =
Application :
On considère la fonction f définie sur IR* par 1 ( ) ² sin 1 f x x
= x+ . Déterminer
lim ( )0
x f x
→ .
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Soit f et u deux fonctions définie sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I.
On suppose que u(x)≤f(x) pour x≠a ; et que lim ( )
x au x
→ = +∞ . (en rappel que lim ( )
x au x
→ = +∞ si et seulement si, pour tout A>0 il existe α>0 tel que si x∈I et 0<|x-a|<α alors f(x) >A)
Montrer que lim ( )
x a f x
→ = +∞ . Théorème :
f et u deux fonctions définies sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I.
Si u(x)≤f(x) pour x≠a ; et que lim ( )
x au x
→ = +∞ alors lim ( )
x a f x
→ = +∞ . Si f(x)≤u(x) pour x≠a ; et que lim ( )
x au x
→ = −∞ alors lim ( )
x a f x
→ = −∞
Application :
Soit f une fonction définie par 2 ( )
1
x x
f x
x
= −
− . 1) Déterminer lim ( )
x f x
→+∞ .
2) Montrer que pour tout x>1, f x( )< −2 x . 3) Retrouver le résultat du 1).
Activité :
Dans chacun des cas suivants, déterminer graphiquement l’image f(I) de l’intervalle I.
www.zribimaths.jimdo.com 8 Théorème (rappel) :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Activité :
Déterminer graphiquement f(I).
Théorème :
L’image d’un intervalle fermé borné [a,b] par une fonction continue est un intervalle fermé [m,M] ou m est le minimum de f sur [a,b] et M est le
maximum de f sur [a,b].
Activité :
Dans chacun des cas suivant déterminer graphiquement le nombre de solution de l’équation f(x)=ki i=1 , i=2 et i=3.
Théorème (rappel) :
Soit f une fonction continue un intervalle I. a et b deux réels de I tel que a<b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a,b].
Théorème :
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. a et b deux réels de I tel que a<b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) l’équation f(x)=k admet une unique solution dans [a,b].
www.zribimaths.jimdo.com 9 1) Montrer que l’équation 3
2x=tgx admet une solution comprise entre
4 et 3
π π
. 2) Montrer que l’équation x3-3x=1 admet une unique solution dans IR .
Activité :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; on suppose que f ne s’annule en aucun point de I.
Montrer que f garde un signe constant sur I.
Théorème :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I .
Si la fonction f ne s’annule en aucun point de I alors elle garde un signe constant sur I.
Théorème admis :
f une fonction définie sur un intervalle de type [a,b[ (b fini ou infini).
Si la fonction f est croissante et majorée alors elle possède une limite finie en b.
Si la fonction f est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞ en b.
Si la fonction f est décroissante et minorée alors elle possède une limite finie en b.
Si la fonction f est décroissante et non minorée alors elle elle tend vers -∞ en b.
Activité : Compléter :
Intervalle I Si f est strictement croissante f(I)=
Si f est strictement décroissante , f(I)=
[a,b]
[a,b[
[a,+∞[
]a,b]
]-∞,b]
Théorème (admis) :
L’image d’un intervalle I par une fonction continue et strictement monotone est un intervalle de même nature.
