Questions ROC sur la continuité
Soit f est une fonction et (un) une suite définie par
u0 réel un+1 = f(un) Montrer que si lim
n →→→→ +∞∞∞∞un = L et f continue en L , alors f(L) = L
n → +∞lim un = L
f est continue en L , donc lim
x → +∞f(x) = L Par composée , on en déduit que lim
n → +∞f(un) = f(L) Or f(un) = un+1 , donc lim
n → +∞un+1 = f(L)
Soit I un intervalle ouvert contenant L
n → +∞lim un = L , donc pour n ≥ N , tous les un∈ I donc pour n ≥ N − 1 , tous les un+1 ∈ I donc lim
n → +∞un+1 = L
La limite d'une suite si elle existe est unique , donc f(L) = L
