GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 1
ANDREAS HÖRING
1. Soit U ⊂ C
nun ouvert et soit f : U → C une fonction différentiable.
a) Soient z
1, . . . , z
nles coordonnées linéaires sur U , posons x
jet y
jpour leurs parties réelles et imaginaires. Montrer que f est holomorphe en a ∈ U si et seulement si
∂f
∂z
j(a) := 1 2
∂f
∂x
j+ i ∂f
∂y
j(a) = 0 ∀ j = 1, . . . , n.
b) Pour a ∈ U on considère l’application R -linéaire donnée par la différentielle df
a: C
n→ C .
Montrer que f est holomorphe en a si et seulement si df
aest C -linéaire.
2. Principe du maximum.
a) Soit U ⊂ C
nun ouvert et f : U → C une fonction holomorphe telle que |f | a un maximum local dans z
0∈ U . Montrer qu’il existe un polydisque D ⊂ U autour de z
0telle que f |
Dest constante.
b) Montrer qu’une fonction holomorphe f : X → C sur une variété complexe compacte est constante.
c) Soit X une sous-variété complexe compacte de C
n. Montrer que X a dimension zéro.
3. Soit f ∈ C [X
0, . . . , X
N] un polynôme homogène non-nul et posons X := {x ∈ P
N| f (x) = 0}.
Montrer que l’hypersurface X est lisse, c’est-à-dire est une sous-variété lisse de P
N, si et seulement si
{x ∈ ( C
N+1\ 0) | ∂f
∂X
0(x) = . . . = ∂f
∂X
N(x) = 0}
est vide.
4. Variété grassmannienne et plongement de Plücker.
Soit n > 2 un nombre naturel et 0 < r < n entier. On définit la variété grassman- nienne comme l’ensemble
G(r, C
n) := {S ⊂ C
nsous-espace vectoriel de dimension r}.
Posons U (n, C ) ⊂ GL(n, C ) pour le groupe unitaire.
a) Montrer qu’on a une application surjective U (n, C ) → G(r, C
n).
Date: 1st November 2009.
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On munit G(r, C
n) de la topologie quotient donnée par la surjection U (n, C ) → G(r, C
n). On définit des cartes sur G(r, C
n) comme suit : pour tout T
i⊂ C
nun sous-espace vectoriel de dimension n − r, soit
U
i:= {S ⊂ C
nsous-espace vectoriel de dimension r | S ∩ T
i= 0}.
Soit S
i∈ U
iarbitraire, alors on peut définir une application φ
i: U
i→ Hom(S
i, T
i) ' C
r(n−r)en associant à S ∈ U
il’unique application C -linéaire f ∈ Hom(S
i, T
i) telle que S ⊂ C
n= S
i⊕ T
iest le graphe de f .
b) Montrer que les applications φ
i= φ
i(S
i, T
i) définissent une structure complexe sur G(r, C
n).
On définit une application
ψ : G(r, C
n) → P (
r
^ C
n)
comme suit : soit U ⊂ C
nun sous-espace de dimension r et soit u
1, . . . , u
rune base de U . Le multivecteur
u
1∧ . . . ∧ u
rdonne un point dans P ( V
rC
n).
c) Monter que ψ est bien définie. Montrer que ψ est un plongement (dite de Plücker).
d) Montrer que G(r, C
n) est une variété projective.
Indication : im ψ peut être identifié aux multivecteurs w ∈ V
rC
nqui sont décom- posables, c’est-à-dire il existe des vecteurs v
1, . . . , v
r∈ C
ntels que
w = v
1∧ . . . ∧ v
r. Pour tout w ∈ V
rC
n, on considère l’application linéaire
φ
w: C
n→
r+1
^
C
n, v 7→ v ∧ w.
Montrer que w est décomposable si et seulement si rg φ
w6 n − r.
e) Soit e
1, . . . , e
4la base canonique de C
4. Chaque 2-vecteur w ∈ V
2C
4a une unique décomposition
w = X
0e
1∧ e
2+ X
1e
1∧ e
3+ X
2e
1∧ e
4+ X
3e
2∧ e
3+ X
4e
2∧ e
4+ X
5e
3∧ e
4. Montrer que pour les coordonnées homogènes [X
0: . . . : X
5] sur P ( V
2C
4), le plongement de Plücker de G(2, C
4) dans P ( V
2C
4) ' P
5a l’équation X
0X
5− X
1X
4+ X
2X
3= 0.
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