GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 5

GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 5

ANDREAS HÖRING

1 . (Décomposition de Lefschetz sur les formes)

Soit (X, ω) une variété kählerienne. On note L l’opérateur de Lefschetz et soit α ∈ C

(X, Ω

), k 6 n. Montrer qu’il existe une unique décomposition

α = X

r

L

α

telle que α

est primitive de degrée k − 2r 6 k.

2 . (Éclatement d’un point)

Soit 0 ∈ U ⊂ C

un voisinage ouvert de 0. L’éclatement de U en 0 est l’ensemble U

:= {((x

, . . . , x

), (y

: . . . : y

)) ∈ U × P

| x

y

= x

y

∀ i, j ∈ {1, . . . , n}}.

a) Montrer que U

est une sous-variété de dimension n de U × P

.

b) Soit π : U

→ U l’application holomorphe induite par la projection sur le premier facteur. Montrer que π

(0) ≃ P

et que π|

est biholomorphe.

c) Soit X une variété complexe de dimension n et soit x

∈ X un point. Soit (U

)

un recouvrement par des voisinages de coordonnées de X tel que x

∈ U

et x

6∈ U

pour i 6= 1. Soit U

l’éclatement de U

en x

. Montrer que U

∪ ∪

U

se récolle en une variété complexe X

qui admet une application holomorphe π : X

→ X telle que π

(x

) ≃ P

et π|

est biholomorphe. On appelle X

l’éclatement de X en x

, et E := π

(x

) ≃ P

le diviseur exeptionnel.

d) Montrer que

K

≃ µ

K

⊗ O

(E)

. En déduire que

O

(E)|

≃ O

(−1).

e) Montrer que si X est compacte Kähler, alors X

est compacte Kähler.

3 . Une surface reglée S est une surface kählerienne compacte qui admet une sub- mersion f : S → C sur une courbe C telle que toutes les fibres S

:= f

(c) sont isomorphes à P

. Montrer qu’une surface reglée est projective.

Indication: commencer par montrer que

T

|

≃ O

(2) ⊕ O

. On a donc K

|

≃ O

(−2).

Date: 11th December 2008.

1

4 . On veut calculer les groupes de cohomologie des fibrés en droites O

(k) sur P

. a) Montrer que si k > −n, alors

H

( P

, O

(k)) = 0 ∀ q > 1.

b) Utiliser la dualité de Serre pour discuter le cas k 6 −(n + 1).

5 . a) Utiliser le théorème de Lefschetz sur les classes (1, 1) pour montrer que le groupe de Néron-Severi d’un tore complexe X = C

/Λ s’identifie à l’ensemble des formes hermitiennes H = (h

)

sur C

telle que

Im H(γ, γ

) ∈ Z ∀ γ, γ

∈ Λ.

b) Soient a, b, c, d ∈ R \ Q qui sont linéairement indépendants sur Q et tels que ad − bc ∈ R \ Q. Soit Λ ⊂ C

le réseau engendré par les vecteurs

1 0

, 0

1

, ia

ib

, ic

id

.

Soit X := C

/Λ. Montrer que Pic(X ) = Pic

(X ), c’est-à-dire le groupe de Néron- Severi est zéro.

c) Montrer qu’un tore complexe X = C

/Λ admet un fibré en droites holomorphe positif si et seulement si il existe une forme forme hermitienne H = (h

)

définie positive sur C

telle que

Im H(γ, γ

) ∈ Z ∀ γ, γ

∈ Λ.

Un tel tore est appelée une variété abélienne.

Indication : soit dµ une mesure de volume 1 sur X qui est invariante sous l’action de groupe. Soit ω une forme de Kähler sur X , alors ω est cohomologue à une forme de Kähler qui est à coefficients constants

˜ ω(z) =

Z

a∈X

τ

ω(z)dµ(a) = Z

a∈X

ω(z + a)dµ(a)

où τ

: X → X, z 7→ z + a est le morphisme de translation par a ∈ X,

6 . Soit X une variété complexe de dimension n et soit D ⊂ X une hypersurface lisse

, c’est-à-dire une sous-variété complexe de codimension un.

a) Soit (U

)

un recouvrement de X par des voisinages de coordonnées. Soit f

∈ O

des équations locales pour D, i.e.

D ∩ U

= {x ∈ U

| f

(x) = 0, df

(x) 6= 0}.

On définit des applications méromorphes sur U

∩ U

g

:= f

f

.

Montrer que g

s’étend en une application holomorphe sur U

∩ U

qui est non- nulle pour tout x ∈ U

∩ U

.

1Tout ce qui suit reste vraie sans l’hypothèse de lissité, mais l’effort technique est plus important.

2

Montrer que (g

)

est un 1-cocyle de Čech de O

X

. On pose O

(D) ∈ Pic(X )

pour le fibré en droites holomorphe correspondant. Montrer que la définition ne dépend pas du choix du recouvrement et des équations locales.

Soit I

⊂ O

le faisceau d’idéaux de D dans X, c’est-à-dire pour tout U ⊂ X ouvert

I

(U ) := {s ∈ O

(U) | s(x) = 0 ∀ x ∈ D ∩ U }.

Montrer que si U

est un voisinage de coordonnées, alors I

(U

) = f

O

(U

).

En déduire que

I

= O

(D)

. On a donc une suite exacte

0 → O

(D)

→ O

→ O

→ 0

b) Supposons maintenant que X est compacte. Notons i : D → X le morphisme d’inclusion. Montrer que l’application

C

(X, Ω

) → C, ω 7→

Z

D

i

ω

induit une forme linéaire

[D] : H

(X, C) → C.

Par dualité de Poincaré H

(X, C) = H

(X, C)

, donc [D] peut-être vue comme une classe dans H

(X, C ). On appelle cette classe le dual de Poincaré de D. Montrer que si X est kählerienne compacte, alors

[D] ∈ H

(X) et que cette classe est non-nulle si D 6= ∅.

c) Soit c

( O

(D)) ∈ H

(X, C) la première classe de Chern du fibré en droites associé à D. Montrer que

c

( O

(D)) = [D].

Remarque : cette question est très difficile. On pourra commencer par établir l’équation de Lelong-Poincaré : soit U ⊂ C

un ouvert et soit C

(U, Ω

) l’espace des (p, q)-formes à support compact. Un courant de bidegrée (p, q) sur U est un élément de l’espace dual, c’est-à-dire une expression

α = X

|J|=p,|K|=q

α

dz

∧ dz

telle que les α

sont des distributions. Soit D ⊂ U une hypersurface lisse, alors T

: C

(U, Ω

) → C, ω 7→ R

D

ω définit un courant de bidegrée (1, 1). Mon- trer que si f est une équation de D, alors

T

= i

2π ∂∂ log |f |

.

3

Pour établir le résultat global, se rappeler que si e est un repère local holomorphe de O

(D) sur un ouvert U , alors

i

2π Θ

|

= 1

2πi ∂∂ log ||e||

, où h est une métrique hermitienne sur O

(D).

d) Soit X une surface complexe compacte. Soit L un fibré en droites holomorphe qui a une section globale σ ∈ Γ(X, L) telle que le lieu de zéros

D := {x ∈ X | σ(x) = 0}

est une sous-variété lisse. Soit M un fibré en droites holomorphe. Montrer que Z

X

c

(L) ∧ c

(M ) = Z

D

c

(M |

).

Soit maintenant π : X

→ X l’éclatement d’un point x ∈ X et soit E ≃ P

le diviseur exceptionnel. Montrer que

Z

X

c

( O

(E))

= −1.

e) Soit X une variété kählerienne compacte et soit L un fibré en droites holomorphe sur X tel que c

(L) = 0. Supposons qu’il existe une section σ ∈ Γ(X, L) tel que le lieu de zéros est lisse. Montrer que L est le fibré trivial.

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