Groupes et géométrie, feuille 5
N. Perrin
À rendre le mercredi 11.03.2020 Correction le jeudi 12.03.2020
Exercice 1 (10 Points) SoitGun groupe etH ⊂Gun sous-groupe. Montrer que
N = \
g∈G
gHg−1
est un sous-groupe distingué deG.
Exercice 2 (2×10 = 20 Points) Soitn∈N∗ un entier et soitGun groupe d’ordren. Soitpun diviseur premier den.
(i) Montrer queGa au plus n−1p−1 sous-groupes d’ordrep.
(ii) Donner un exemple ou l’on a exactement n−1p−1 sous-groupes d’ordrep.
Exercice 3 (4×5 = 20 Points) GroupeS3. (i) Rappeler|S3|.
(ii) Montrer (sans calcul si possible) queS3 n’a pas d’élément d’ordre6.
(iii) Montrer que S3 contient un unique sous-groupe d’ordre3et décrire les sous-groupes d’ordre2.
(iv) Donner tous les sous-groupes deS3.
Exercice 4 (5 + 10 + 3×5 = 30Points) Soit G =S4 le groupe des per- mutations d’un ensemble à4éléments et soitA4 son sous-groupe alterné. Soit V4={Id,(2143),(3412),(4321)} ⊂S4.
(i) Montrer queV4est un sous-groupe deA4 et que l’on aV4/A4/S4. (ii) Déterminer à quels groupes bien connus les groupesV4,A4/V4und S4/A4
sont isomorphes.
(iii) SoitH ={Id,(2314),(3124)} ⊂S4. Montrer queH est un sous-groupe de S4. Est-il distingué ?
(iv) Montrer queH ⊂A4.
(v) Montrer queA4=V4H et que V4∩H={1}.
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Exercice 5 (2×10 = 20 Points) Soitn∈N∗ (i) Donner un élément d’ordrendeSn.
(ii) SoitH /Sn un sous-groupe distingué contenant une transposition. Montrer queH =Sn.
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