Groupes et géométrie, feuille 4

Groupes et géométrie, feuille 4

N. Perrin

À rendre le mardi 09.03.2021 Correction le jeudi 16.03.2021

Exercice 1 (2×5 + 2×10 = 30 Points) SoitB⊂GL_n(R)le sous-ensemble des matrices triangulaires supérieures, soitT ⊂B le sous-ensemble des matrices diagonales et soitU ⊂B le sous-ensemble des matrices triangulaires supérieures ayant un1sur la diagonale.

(i) Montrer queB,T etU sont des sous-groupe deGLn(R).

(ii) Montrer que l’applicationϕ:B →T qui a une matrice supérieure associe sa partie diagonale est un morphisme de groupes.

(iii) Montrer queU = kerϕet queU / B.

(iv) Montrer que le quotientB/U peut être muni d’une structure de groupes telle que[g][g⁰] = [gg⁰]et que le groupe quotient est isomorphe àT.

Exercice 2 (2×5 + 10 = 20 Points) SoitKun corps. On noteB⊂GL₂(K) le sous-groupe de matrices triangulaires supérieures, on note T ⊂B le sous- groupe des matrices diagonales et on noteU ⊂B le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures ayant un1sur la diagonale. Rappelons que l’on a vu queU / B et B/U'T.

On suppose maintenant queK=F2=Z/2Zest le corps ayant2éléments.

(i) Déterminer les ordres|GL₂(F2)|,|B|,|T|et|U|des groupesG,B,T etU. (ii) On définit les vecteurs suivants :

x1=

1

0

, x2=

0

1

etx3=

1

1

,

et on pose X = {x1, x2, x3}. Montrer que f(X) = X pour tout f ∈ GL2(F2).

(iii) Soit ϕ : GL2(F2) → Bij(X) l’application définie par ϕ(f) : X → X, x_i7→f(x_i)pouri∈[1,3]. Montrer queϕest un isomorphisme de groupes.

Exercice 3 (20 Points) On noteD₈ le groupe des isométries qui préservent un carré. Montrer que les groupes

Z/8Z, Z/4Z×Z/2Z, Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z, D8, H, sont deux-à-deux non isomorphes. Lesquels sont commutatifs ?

1

Exercice 4 (3×10 = 30 Points) Un sous-groupeH ⊂Gest ditcaractéris- tiquesi pour tout automorphismeϕ:G→G, on aϕ(H) =H.

(i) Montrer que siH ⊂Gest un sous-groupe caractéristique alorsH / G.

(ii) Soit H ⊂ G un sous-groupe caractéristique de G et soit K ⊂ H un sous-groupe caractéristique de H. Montrer que K est un sous-groupe caractéristique deG.

(iii) Soit H / Gun sous-groupe distingué deGet soitK⊂H un sous-groupe caractéristique deH. Montrer queK / G.

2