EXERCICE 3 (4 points )
Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par réponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale ne peut être inférieure à zéro.
On pose z = − p 2 + √
2 + i p 2 − √
2.
1) La forme algébrique de z
2est : A : 2 √
2 B : 2 √
2 − 2 i √
2 C : 2 + √
2 + i (2 − √
2) D : 2 √
2 + 2 i √ 2.
2) z
2s’écrit sous forme exponentielle :
A : 4 e
iπ4B : 4 e
−iπ4C : 4 e
i3π4D : 4 e
−i3π4.
3) z s’écrit sous forme exponentielle :
A : 2e
i7π8B : 2e
iπ8C : 2e
i5π8D : 2e
i3π8.
4)
p 2 + √ 2
2 et
p 2 − √ 2
2 sont les cosinus et sinus de : A : 7π
8 B : 5π
8 C : 3π
8 D : π
8 .
4
EXERCICE 3
1) B 2) B 3) A 4) D
Explications.
1)
z2=
− q
2+√ 2+i
q 2−√
2 2
=
− q
2+√ 2
2
−2i q
2+√ 2
q 2−√
2+
i q
2−√ 2
2
= (−1)2 q
2+√ 2
2
−2i q
(2+√
2)(2−√ 2) +i2
q 2−√
2 2
= (2+√
2) −2i√
4−2− (2−√ 2)
=2√ 2−2i√
2.
2) z2=2√
2(1−i) =2√ 2×√
2 1
√2−i 1
√2
=4 cos
−π 4
+isin
−π 4
=4e−iπ4.
3) SoitZun nombre complexe.
Z2=4e−iπ4 ⇔Z2= 2e−iπ82
⇔Z2− 2e−iπ82
=0⇔(Z−2e−iπ8)(Z+2e−iπ8) =0
⇔Z=2e−iπ8 ouZ= −2e−iπ8.
On note alors que−e−iπ8 =eiπe−iπ8 =ei(π−π8)=ei7π8 .zest donc l’un des deux nombres 2e−iπ8 ou2ei7π8 . Maintenant, la partie réelle dezvaut−p
2+√
2 et est donc un nombre strictement négatif. Comme2cos 7π
8
< 0(et
2cos
−π 8
> 0), on a doncz=2ei7π8 .
4) Ainsi−p 2+√
2+ip 2−√
2= 2
cos 7π
8
+isin 7π
8
et donc par identification des parties réelles et imagi- naires, on a
cos 7π
8
= −
p2+√ 2 2 et sin
7π 8
=
p2−√ 2
2 .
Enfin, comme π
8 =π− 7π
8 , on a cosπ 8
= −cos 7π
8
et sinπ 8
=sin 7π
8
. Par suite
cosπ 8
=
p2+√ 2
2 et sinπ 8
=
p2−√ 2
2 .
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