Exercice 1 - QCM (1 seule bonne réponse par question)

GMP - Maths S2- Matrices - Séance 3. Déterminant, inverse d’une matrice carrée.

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Exercice 1 - QCM (1 seule bonne réponse par question)

1) Parmi les propositions suivantes, laquelle est fausse ?

det(AB) = det(BA) det(AB) = det(A)×det(B) det(A^-1) = det(A) 2) La condition pour qu’une matrice carrée A soit inversible est :

det(A) = 0 termes diagonaux égaux det(A) = 1 det(A) ≠ 0 3) ^det

(

^{2 A×}

)

^{= :}

( )

2×det A ^4×det

( )

^{A 8×det}

( )

^A ça dépend de la dimension de A 4) Soit A une matrice carrée inversible et u et v deux vecteurs. Si A^-1×u = v, alors :

A×u = v A×v = u A×u⁻¹ = v A×v⁻¹ = u

5) Soit, en dimension n, une matrice carrée A et la matrice identité I. Si A²− =A I, alors :

A=I A⁻¹= −A I ^det

( )

^{A2 −det}

^{( )}

^{A =1} A n'est pas inversible

Exercice 2 -

Soit A et B deux matrices carrées de dimension 2. Montrez que det(AB) = det(A)×det(B).

On notera A a c b d

 

= 

  et B e g

f h

 

= 

 .

Exercice 3 -

Soit la matrice

1 3 2

N 1 5 1

2 1 3

−

 

 

= − − 

− 

 

.

1) Pour chaque transformation proposée, dire de quelle façon est modifié le déterminant de la matrice transformée par rapport à la matrice précédente.

a. Dans la matrice N, transformer la ligne L₂ en L₂+L₁. Nouvelle matrice : N2. b. Dans la matrice N2, transformer la ligne L₃ en L₃+2L₁. Nouvelle matrice : N3. c. Dans la matrice N3, transformer la ligne L₃ en 2L₃+5L₂. Nouvelle matrice : N4.

2) La matrice N4 est triangulaire. Or, le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses termes diagonaux. Calculer le déterminant de N4, puis en déduire celui de N.

Exercice 4 -

1) Justifier que la matrice

1 1 2

N 1 1 2 1

3 1 1 1

−

 

 

=  − 

− 

 

est l’inverse de la matrice

1 1 1

M 0 1 1

1 0 1

−

 

 

= 

 

 

.

2) Calculer

12 M 1

2 0

 

 

 

× 

 

 

 

et 1 N 1

2 12

 

 

 

× 

 

 

 

. Les résultats sont-ils logiques ?

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Exercice 5 -

On donne la matrice carrée de dimension 2 suivante : M = 3 4

2 3

− −

 

 

 . On définit l’application f qui, à tout vecteur x

X y

=  

 , renvoie comme image le vecteur ^{Y = f X}

( )

^{= ×M X .}

1) a. Calculer l’image par f du vecteur 1 X  1

= 

− , c’est-à-dire calculer 3 4 1

2 3 1

Y − −  

=  

 − .

b. Calculer l’image par f du vecteur 2 X  1

= 

− .

2) a. Calculer la matrice M² (soit M × M). En déduire l’inverse de la matrice M.

b. Quelle est alors l’image par f o f de tout vecteur ¹

2

X x x

 

= 

  ?

Exercice 6 -

Déterminer les matrices inverses de :

a. 2 3

A 1 1

−

 

= 

  b. 2 3

B 0 1

−

 

= 

  c. 1 2

C 4 8

−

 

= 

 −  d.

2 1 2

D 1 0 3

3 4 1

−

 

 

= − 

 

 

e.

5 0 6

E 2 1 2

0 4 3

 

 

= − 

 

 

Exercice 7 -

Déterminons les matrices carrées de dimension 2 dont la transposée est égale à l’inverse : ^TA = A^-1. 1) En notant A = a c

b d

 

 

 , écrire ^TA×A = I et A×^TA = I puis obtenir les deux systèmes impliqués.

2) Par résolution de ces systèmes, déterminer les matrices A possibles.

Variante :

1) En notant A = a c b d

 

 

 , écrire ^TA et A^-1.

2) Montrer que l’égalité de ces deux matrices, quant à leurs termes diagonaux (diagonale principale), entraîne forcément a = 0 ou alors det(A) = 1 ou -1.

3) Montrer que le critère a = 0 entraîne à lui seul la situation det(A) = 1 ou det(A) = -1.

4) Traiter séparément les cas det(A) = 1 et det(A) = -1, afin de donner les matrices solutions de notre pro- blème (uniquement en fonction de a).

Exercice 8 -

Soit la matrice

3 9 9

A 2 0 0

3 3 3

−

 

 

= 

 − 

 

.

1) Calculer A² puis montrer que pour tout entier n≥3, Aⁿ=O.

2) Montrer que de telles matrices (dites nilpotentes) ont forcément un déterminant nul.

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Exercice 9 -

Soit une matrice carrée A, inversible, telle que A² + A + I = O. (I représente la matrice identité et O la ma- trice nulle). A² représente bien entendu le produit A×A et pour tout entier n strictement positif, on défi- nit Aⁿ comme le produit A×A×…×A (n facteurs). Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1) Exprimer la matrice A^-1 en fonction de A.

2) a. Déterminer la matrice A³, puis, en fonction de A, l’expression de A⁴. b. En déduire A¹⁰⁰.

Exercice 10 -

On considère la matrice

1 2 2

A 2 2 1

2 1 2

 

 

= − 

 − 

 

et la matrice

1 2 2

1 1

B 2 2 1 A

3 3

2 1 2

 

 

=  − =

 − 

 

.

1) Justifier que la matrice A est symétrique.

2) Vérifier que les trois vecteurs qui composent les colonnes de la matrice A sont deux à deux orthogo- naux.

3) Vérifier que le déterminant de la matrice B vaut 1 (pour information, cette propriété, combinée au résultat de la question précédente, fait de la matrice B une matrice orthogonale).

Pour cette question, on se souviendra qu’en dimension n, det(k×M) = kⁿ × det(M).

4) Montrer que B² = I (B² est le produit B×B et I est la matrice identité).

5) En déduire la matrice inverse de B, puis en déduire celle de A.