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Tronc commun MT20
Médian - Automne 2012 Durée de l'épreuve : 2 heures
Une feuille de notes manuscrites est le seul document autorisé.
L'utilisation d'une calculatrice ou d'un téléphone est donc interdite.
Exercice 1 (4 points)
Vous indiquerez pour chacune des huit armations suivantes si elle est Vraie ou Fausse, sans justi- cation. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point et chaque réponse fausse enlève 0,5 point.
1. La fonction F dénie sur ]0 ; +∞[ par F(x) = Z x
1
et
t dt est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
2. Si f est une fonction continue sur R et impaire, alors pour tout nombre réel a, Z a
−a
f(x)dx= 2 Z a
0
f(x)dx
3. Si f est une fonction continue sur un segment [a;b]avec a6b. Alors :
Z b
a
f(x)dx 6
Z b
a
|f(x)|dx
4. L'intégrale généralisée
Z +∞
0
1
3t dt est convergente.
5. Si f est une fonction continue sur [0, +∞[ et si lim
x−→+∞f(x) = 0 alors l'intégrale généralisée Z +∞
0
f(t)dt converge.
6. La série de terme général ln
n+ 1 n
est convergente.
7. Pour que la série réelle X
un converge, il faut que la suite (un)n∈N converge vers zéro.
8. Soit(an)n∈N une suite réelle positive.
Si la suite des sommes partielles
n
X
k=0
ak
!
n∈N
est bornée, alors la série X
an converge.
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Exercice 2 (5 points)
Pour chacune des cinq questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. On demande d'indiquer laquelle sans justication. Chaque réponse juste rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Vous pouvez décider de ne pas répondre à certaines questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à zéro.
1. Soitx un nombre réel. En eectuant le changement de variable u= cost dans l'intégrale I(x) =
Z x
1
sint
1 + cos2tdt, on montre que I(x) est égale à : (a) Z x
1
−1
1 +u2 du (b) Z arccosx arccos 1
−1
1 +u2 du (c) Z cos 1 cosx
1
1 +u2 du (d) Z cosx cos 1
−u 1 +u2 du
2. L'intégrale Z e
1
x lnxdx est égale à : (a) 1 + e2
4 (b) 1−e2
4 (c) e2−1
4 (d) e2−2e + 2 4
3. La suite S de terme général Sn=
n
X
k=1
k
n2+k2 est convergente, de limite égale à : (a) Z 1
0
x
1 +xdx (b) Z 1 0
1
1 +xdx (c) Z 1 0
1
1 +x2 dx (d) Z 1 0
x 1 +x2 dx
4. Soitα ∈R. L'intégrale généralisée Z +∞
1
ln(t)
tα dt converge lorsque (a) α <0 (b) α >1 (c) α= 1 (d) 0< α <1
5. La série de terme général n+ 1
3n est convergente et
+∞
X
k=0
k+ 1 3k =. . . (a) e−3 (b) 3
2 (c) 9
4 (d) 13 4
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Exercice 3 (11 points)
Cet exercice sera rendu sur une feuille séparée. La qualité de la rédaction et la présentation entreront pour une part importante dans la notation.
1. Soitα un réel strictement positif.
Pour quelles valeurs deα, l'intégrale généralisée Z +∞
1
1
tα(1 +t)dt est-elle convergente ? 2. On dénit la suite (un)n∈N∗ par :
∀n ∈N∗, un= Z +∞
1
1 tn(1 +t)dt (a) Prouver que
∀n ∈N∗, un+un+1 = 1 n (b) Calculeru1 en remarquant que pour tout réel t >1, 1
t(1 +t) = 1 t − 1
1 +t (c) En déduire u2 etu3.
3. (a) Montrer que la suite(un)est décroissante.
(b) Établir que pour tout entier n>2, 1
n 62un 6 1 n−1
(c) En déduire un équivalent simple de un lorsque n tend vers +∞. 4. La série X
un est-elle convergente ? Pourquoi ?