Groupes et géométrie, feuille 12

Groupes et géométrie, feuille 12

N. Perrin

À rendre le mercredi 06.05.2020 Correction le mardi 07.05.2020

Exercice 1 (80 Points) SoitGun groupe simple d’ordre60.

(i) Supposons qu’il existe G⁰ ⊂Gun sous-groupe d’ordre 20 et soitG⁰₅ un 5-sous-groupe de Sylow deG⁰. Montrer queG⁰₅/ G⁰.

(ii) Montrer queG⁰⊂NG(G⁰₅)et en déduire queNG(G⁰₅)est d’ordre 20ou60.

(iii) En utilisant les théorèmes de Sylow (et le fait que le nombre de5-Sylow est[G:NG(G⁰₅)], cf. feuille 11, exercice 4), montrer queGn’admet pas de sous-groupe d’ordre20.

(iv) Montrer que siGadmet un sous-groupe K d’ordre12, alorsKadmet 4 3-sous-groupes de Sylow (siK a un unique3-sous-groupe de SylowK3, on pourra procéder comme ci-dessus en considérantNG(K3)).

(v) SoientH etH⁰ deux sous-groupes distincts d’ordre 4.

(a) On suppose que H∩H⁰ =haiest d’ordre2(donc aest d’ordre2).

Montrer queH∪H⁰⊂C_G(a) ={g∈G|ga=ag}.

(b) Montrer queCG(a)contient au moins6éléments et est d’ordre divisi- ble par4.

(c) En déduire que|CG(a)|vaut12, 20ou60.

(d) Montrer qu’aucun des cas n’est possible et queH∩H⁰ ={1}.

(vi) SoitH est un2-Sylow, supposonsH =NG(H).

(a) Calculer le nombre de2-Sylow deG(on pourra utiliser et le fait que le nombre de2-Sylow est[G:NG(H)], cf. feuille 11, exercice 4) (b) En comptant le nombre d’éléments d’ordre 2et5, montrer queH 6=

N_G(H).

(vii) Montrer queGpossède5 2-sous-groupes de Sylow (on pourra déterminer le cardinal deNG(H)pour H un2-Sylow.

(viii) Montrer queG'A5 en considérant l’action deGpar conjugaison sur les 2-Sylow.

Exercice 2 (20 Points) SoitGunp-groupe fini.

1

(i) On suppose que Gagit sur un ensemble fini X et on note X^G = {x∈ X | g·x=xpour toutg∈G} l’ensemble des points fixes deX sousG.

Monter que l’on a

|X| ≡ |X^G|(modp).

(ii) En faisant agirG sur lui-même par conjugaison : G×G →G; (g, x)7→

g·x=gxg⁻¹, montrer queZ(G)est un sous-groupe non trivial deG(i.e Z(G)6={1}).

2