Groupes et géométrie, feuille 11
N. Perrin
À rendre le mercredi 29.04.2020 Correction le mardi 30.04.2020
Exercice 1 (20 Points) Soientpetq deux nombres premiers etGun groupe d’ordrep2q. On suppose quep2−1n’est pas divisible parqet queq−1n’est pas divisible parp. Montrer queGest abélien.
Exercice 2 (20 Points) Soientpetqdeux nombres premiers distincts. Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordrep2q.
Exercice 3 (4×10 = 40 Points) SoitGun groupe d’ordre399.
(i) Montrer queGadmet un unique19-Sylow P qui est distingué dansG.
(ii) SoitQun7-Sylow. Montrer queN =P Qest un sous-groupe d’ordre133 deGet que ce groupe est cyclique.
(iii) On suppose que Qn’est pas distingué dansG. Montrer queGadmet 57 sous-groupes cycliques d’ordre133 distincts deux à deux. Quel serait le nombre d’éléments d’ordre133dansG? Aboutir à une contradiction. En déduire queQest distingué dansGet queN est distingué dansG.
(iv) Montrer queG=N R, oùRest un3-Sylow. En déduire queGest isomorphe au produit semi-direct d’un groupe cyclique d’ordre 133 par un groupe cyclique d’ordre3.
Exercice 4 (20 Points) SoitGun groupe fini etpun facteur premier de|G|.
SoitS ⊂Gun sous-groupe de Sylow et soitNG(S)le normalisateur deS dans G. Montrer que le nombre de p-sous-groupes de Sylow est [G:NG(S)].
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