Groupes monogènes — groupes cycliques
Dans tout ce qui suit, (G, .) désigne un groupe (souvent désigné simplement par la lettre G) et e son élément neutre.
Définition :on dit que G est un groupe monogène si et seulement si G est de la forme {an, n∈Z} (si l’opération est notée additivement, cela devient{na, n∈Z}). On dit alors queG est engendré par a.
On dit que Gest ungroupe cyclique si et seulement siGest monogène et fini.
Exemple fondamental
Pour tout élémentafixé dansG,H ={an, n∈Z}est un sous-groupe deG, appelésous-groupe engendré par a. Il est monogène par définition !
Dém.H est clairement :
•non vide (pourn= 0, je trouvee∈H)
•stable pour la loi.(an.ap =an+p. . . )
•stable par passage au symétrique ((an)−1 =a−n. . . ).
Propriété : tout groupe monogène est commutatif.
Dém.Immédiat du fait que, pour tout (n, p) dans Z2,an.ap =an+p =ap.an. Exemples : ∗ (Z,+)est monogène, engendré par 1 et par −1;
∗ pour tout n de N∗, le groupe Un des racines n-ièmes de l’unité dans C est cyclique, engendré par exp 2iπ
n .
Théorème :supposonsa∈Gtel que le sous-groupe H ={an, n∈Z}qu’il engendre soit fini.
Alors il existe ω dans N∗ tel que les ak, 0 ≤ k ≤ ω−1 soient distincts deux à deux et aω=e.
Dans ce casH = e, a, a2, . . . , aω−1 est un groupe cyclique de cardinalω.
NB : la périodicité de la suite des puissances deaest à l’origine de l’appellation “groupe cyclique” !
Dém.Par hypothèse, H ={an, n∈Z} est fini. Je dispose donc de deux exposants distinctsp, q dans Z tels queap =aq (sinon les an seraient distincts 2 à 2 et H serait infini !). Commep et q jouent des rôles symétriques, je peux supposerp < q et j’obtiens, en multipliant par a−p,
aq−p =e où q−p∈N∗.
Par conséquent, l’ensemble{n∈N∗ / an=e}est une partie non vide deN, il admet donc un plus petit élément, que je note ω.
J’ai donc, par définition deω,
ω∈N∗ , aω =e et ∀n∈[[0, ω−1]] an=e.
J’en déduis que les ak, 0≤k≤ω−1 sont distincts deux à deux : par l’absurde, s’il existaiti, j entiers tels que
0≤i < j ≤ω−1 et ai =aj, j’aurais
0< j−i < ω et aj−i=e, d’où une contradiction avec la définition deω !
Je viens de prouver que e, a, a2, . . . , aω−1 est de cardinal ω. Il est évidemment inclus dans H.
J’obtiens classiquement l’autre inclusion grâce à la division euclidienne dans Z: pour n∈Z, j’écris n=ωq+r où 0≤r < ω
et alors
an= (aω)q.ar=ar car aω =e.
Ainsi tout élément de H est l’un des ak, 0≤k≤ω−1.
Toutes les assertions ont été démontrées. On constate notamment que e, a, a2, . . . , aω−1 est un sous- groupe monogène deG (puisque c’estH !). Comme il est fini c’est bien un groupe cyclique !
