Universit´e Paris Diderot Arithm´etique – Ann´ee 2011-12 ENS Cachan
M1 math´ematiques
Examen Dur´ee : 3h
Soitiune racine carr´ee de−1 dansC. Soitζ une racine primitive 2012-`eme de l’unit´e dansC. Soitαune racine carr´ee de 503 dansC. Rappelons que l’anneau des entiers deQ(i) est Z[i], et que ce dernier anneau est principal.
1. D´ecomposer le nombre 2012 en produit de facteurs premiers.
2. Montrer que les extensionsQ(α)|Qet Q(i)|Qsont galoisiennes. Quels sont les groupes de Galois ? 3. Montrer que l’extensionQ(α, i)|Q est galoisienne de groupe de GaloisGisomorphe au produit de deux groupes cycliques d’ordre 2.
4. Quels sont les nombres premiers ramifi´es dans les extensionsQ(α)|Qet Q(i)|Q?
5. Soient a,b ∈Q(i). Soitx=a+bα entier surZ[i]. Montrer que aet b sont dansZ[i]. En d´eduire que l’anneau des entiers deQ(α, i) estZ[α, i].
6. Calculer le discriminant de l’extensionQ(α, i)|Q(i) (on pourra calculer le discriminant du syst`eme (1, α)).
En d´eduire les nombres premiers qui sont ramifi´es dans l’extensionQ(α, i)|Q.
7. Montrer que l’extension Q(α, i)|Q(i) est ramifi´ee en l’id´eal premier principal (1 +i) de Z[i]. Quel est l’indice de ramification en 2 de l’extensionQ(α, i)|Q.
8. Quel est le sous-groupe de d´ecomposition deGen 2 de l’extension Q(α, i)|Q? Quel est le sous-groupe d’inertie ?
9. Quel est le sous-groupe de d´ecomposition deGen 503 de l’extensionQ(α, i)|Q? Quel est le sous-groupe d’inertie ?
10. D´eterminer les ensembles E1, E2, E3 et E4 form´es par les nombres premiers p tel que le groupe de d´ecomposition en pde l’extensionQ(α, i)|Qsoit d’ordre 1, 2, 3 et 4 respectivement ? Quelle est l’ordre de la substitution de Frobenius correpondante dansGdans chacun de ces cas ?
11. Quelles sont les densit´es des ensemblesE1,E2, E3et E4?
12. Montrer qu’un ´el´ement de (Z/2012Z)∗est un carr´e si et seulement si c’est un carr´e modulo 4 et un carr´e modulo 503.
13. Quelle est la densit´e de l’ensemble des nombres premiers qui sont des carrr´es modulo 2012 ?
14. Admettons que le corpsQ(α, i) est contenu dansQ(ζ). Montrer que le groupeGs’identifie au quotient de (Z/2012Z)∗par le sous-groupe des carr´es. Retrouver le r´esultat de la question 13 en applicant le th´eor`eme de Chebotarev `a l’extensionQ(α, i)|Q.
