Montrer que pour tout quaternion q ∈ H, il existe des r´ eels α et β tels que q 2 = αq + β . Exercice 2. (Quelques remarques sur les

L3 – Alg` ebre 2 2013–2014 : TD 10

Quaternions

Exercice 1. (H est une R-alg` ebre quadratique)

Montrer que pour tout quaternion q ∈ H, il existe des r´ eels α et β tels que q ² = αq + β . Exercice 2. (Quelques remarques sur les

polynˆ omes

` a coefficients dans H) Dans tout l’exercice, X d´ esigne une variable prenant ses valeurs dans l’alg` ebre H des quater- nions.

1. Montrer que la fonction X 7→ iX − Xi + 1 ne s’annule pas.

2. Montrer que la fonction X 7→ X ² iXi + iX ² iX − iXiX ² − XiX ² i est identiquement nulle.

3. D´ eterminer en fonction de a ∈ H le nombre de z´ eros de la fonction X 7→ X ² − a.

Exercice 3. (“Well, Papa, can you multiply triplets ?” )

1. a. Montrer que dans tout anneau commutatif, les sommes de quatre carr´ es forment un ensemble stable par multiplication.

b. Montrer que le r´ esultat n’est pas vrai pour les sommes de trois carr´ es (on pourra

´

etablir une liste des carr´ es de Z/8Z).

2. Montrer qu’il n’existe pas de R-alg` ebre de dimension trois contenant une sous-alg` ebre isomorphe ` a C.

Exercice 4. (Entiers de Hurwitz et th´ eor` eme des quatre carr´ es)

Si A est un anneau (non n´ ecessairement commutatif), un sous-groupe additif I ⊂ A est un id´ eal ` a gauche si ∀a ∈ A, i ∈ I, ai ∈ I.

On appelle entier de Lipschitz tout quaternion de la forme a+bi+cj +dk avec (a, b, c, d) ∈ Z ⁴ . On appelle entier de Hurwitz tout quaternion de la forme a + bi + cj + dk

2 , avec quatre entiers a, b, c, d tous pairs ou tous impairs. On note Lip et Hur ces deux parties de H.

On note, pour q ∈ H, N(q) = qq = |q| ² .

1. Montrer que Lip et Hur sont deux sous-anneaux de H.

2. D´ eterminer les inversibles de Lip et Hur.

3. Montrer que pour tout a ∈ Hur, il existe δ ∈ Hur ^× tel que δa ∈ Lip.

4. Montrer que pour tous a, b ∈ Hur (b 6= 0), il existe q, r ∈ Hur tels que a = qb + r et N(r) < N(b).

5. En d´ eduire que tout id´ eal ` a gauche de Hur est de la forme Hur · a pour un certain a ∈ Hur.

6. Soit p un nombre premier impair. Montrer qu’il existe u et v entiers tels que 1 + u ² + v ² ≡ 0 (mod p).

7. On pose q = 1 + ui + vj ∈ Hur. Montrer que l’on a les inclusions strictes

Hur · p Hur · p + Hur · q Hur.

8. Soit b ∈ Hur tel que Hur · p + Hur · q = Hur · b. Montrer que l’on peut ´ ecrire p = mb, avec N(m) 6= 1.

9. En d´ eduire que p est la somme de quatre carr´ es.

10. En d´ eduire le th´ eor` eme des quatre carr´ es (Lagrange, 1770) : tout entier est somme de quatre carr´ es.

Exercice 5. (Sous-groupes finis de H ^× )

1. Montrer que tout sous-groupe de SO ₂ est cyclique.

2. Montrer que tout sous-groupe de O 2 est cyclique ou di´ edral. Montrer que ces groupes sont isomorphes ` a des sous-groupes de SO ₃ .

3. Montrer que tout sous-groupe de H ^× est un sous-groupe de SU 2 . 4. Si m est pair, on note Dic _2m le sous-groupe de H ^× engendr´ e par cos

2π m

+ sin

2π m

i et j. Montrer que l’image de Dic 2m par le morphisme SU 2 → SO 3 est un groupe di´ edral et en d´ eduire que Dic _2m a 2m ´ el´ ements. Ce groupe est le groupe dicyclique de cardinal 2m.

5. On admet l’existence de sous-groupes T, O, I ⊂ SO 3 isomorphes respectivement ` a A(4), S(4) et A(5) tels que tout sous-groupe fini de SO <sub>3</sub> soit conjugu´ e ` a T, O, I ou ` a un des sous-groupes construits ` a la question 2. En d´ eduire une classification des sous-groupes finis de H ^× .

6. Si m = 2 ⁿ⁻¹ , le groupe Dic _2m est not´ e Q ₂

et appel´ e groupe de quaternions g´ en´ eralis´ e.

Identifier Q 8 et montrer que ce groupe n’est pas isomorphe ` a un produit semi-direct non trivial.

7. Exhiber un sous-groupe distingu´ e N de Q ₈ tel que le quotient Q ₈ /N ne soit pas isomorphe

`

a un sous-groupe de Q 8 .

8. Un th´ eor` eme de Burnside affirme que si un p-groupe G poss` ede un unique sous-groupe de cardinal p, alors soit G est cylique, soit p = 2 et G est isomorphe ` a un Q 2

. V´ erifier ce th´ eor` eme dans le cas o` u G est ab´ elien.

9. En utilisant le th´ eor` eme de Burnside, montrer que si q est impair, les 2-sous-groupes de Sylow de SL 2 (F q ) sont des groupes de quaternions g´ en´ eralis´ es (on pourra v´ erifier que si l’ordre k d’un ´ el´ ement de SL 2 (F q ) est une puissance de 2, alors k divise q − 1 ou q + 1).

Exercice 6. (Simplicit´ e de PSO n )

1. D´ eterminer le centre de SO n . On note PSO n le quotient de SO n par son centre.

2. ` A quoi est isomorphe PSO ₃ ? En d´ eduire que ce groupe est simple.

3. ` A quoi est isomorphe PSO 4 ? En d´ eduire que ce groupe n’est pas simple.

A partir de maintenant, on suppose ` n ≥ 5. Le but est de d´ emontrer que PSO n est un groupe simple. On rappelle qu’un renversement est une sym´ etrie orthogonale par rapport ` a un sous- espace vectoriel de codimension 2.

4. Montrer que tous les renversements sont conjugu´ es et qu’ils engendrent SO _n . 5. Pour tout sous-espace vectoriel F ⊂ R ⁿ , on consid` ere G F =

u ∈ SO n

u _|F = id F . ` A quoi est isomorphe G _F ?

6. Soit u ∈ SO n diff´ erent de ± id. Montrer qu’il existe un ´ el´ ement v ∈ SO n tel que le commutateur c = [u, v] soit diff´ erent de ± id mais fixe un vecteur unitaire.

7. D´ emontrer qu’il existe w ∈ SO n tel que le commutateur [c, w] soit diff´ erent de ± id mais fixe un sous-espace vectoriel de codimension ≤ 2.

8. En d´ eduire la liste des sous-groupes distingu´ es de SO _n et la simplicit´ e de PSO _n .